소인수분해의 관점에서 보면 합성수란 더 작은 소수들의 곱으로 인수분해 될 수 있는 수라고 할 수 있다. 반면에 소수는 소인수분해해도 자기 자신뿐이고 더 이상 쪼갤 수 없는 수를 말하는 것이다. 예를 들어 말하면, 6, 12, 45는 각각 2*3, 2*2*3, 2*3*3 와 같이 더 작은 소수들의 곱으로 쪼갤 수 있으므로 합성수들이다.
반면에 101, 10079는 훨씬 복잡해보이나 소인수분해하여 더 작게 나눌 수 없는 간결한 수이어서 이런 수는 소수이다. 이러한 소수의 간결하고 순수한 매력 때문에 고대 그리스 사람들은 소수에 많은 관심을 가지고 연구하게 되었다.
그들은 임의의 주어진 자연수보다 작은 소수를 모두 구하는 것은 일종의 체를 이용하는데, 이러한 체 중에서 기원전 에라토스테네스가 고안한 체가 가장 유명하다. 그는 1에서부터 주어진 자연수까지 전체의 수를 기록해 놓고 2보다 큰 배수들을 지우고, 다음에 3보다 큰 3의 배수들을 지우고 5보다 큰 5의 배수들을 지우고 이렇게 계속 합성수들을 지워나가면서 소수들만 걸러내는 방법이다.
이렇게 소수들을 계속 구하여 보면, 소수는 불규칙하게 있지만, 그 빈도는 줄어든다는 사실을 알 수 있다. 실제로, 1에서 100까지에는 25개(25%)의 소수가 있고, 1에서 1,000사이의 소수는 168개(16.8%)가 있으며, 1에서 10,000 사이의 소수는 1,229개(12.3%)가 있으며, 1에서 100,000사이에는 9,552개(9.5%)의 소수가 있다. 이렇게 소수의 발생 빈도가 점점 줄어들고 있으므로 수가 엄청나게 크면 결국 없어지지 않을까? 하는 의문이 자연스럽게 생긴다. 과연 어떨까? 이러한 의문에 대한 대답은 '아니오' 이다
이에 대한 해답은 이미 기원전 300년경에 유클리드에 의하여 답이 주어졌다. 유클리드는 말하기를 소수는 무한이 많이 존재한다는 것을 수학적 귀납법을 가지고 증명하였다. 최근에 수학자들은 적당한 두 수 사이에 존재하는 소수의 개수 또는 소수의 발생빈도를 구하는 방법에 관심을 갖고 이 문제를 해결하기 위한 여러 가지 함수들을 찾고 있으며, 물리학자들은 우주의 별들을 소수와 대응하여 연구하고 있다고 한다.
소수에는 아직도 많은 미해결 문제들이 있지만, 알려진 몇 가지 미해결 문제들을 소개하고자 한다. 유클리드의 결론에 의하면 소수는 무수히 많다. 그리고 소수가 어떤 규칙에 따라 분포되었는지를 찾는 문제는 매우 어려운 일이다. 실제로 이 문제의 해결에는 접근할 수 없지만, p, p+2 꼴로 된 소수를 살펴보자. 이런 소수를 우리는 쌍둥이 소수라 하는데, 이런 쌍둥이 소수가 과연 몇 개나 있는지는 아직 알려지지 않았다. 18세기의 위대한 독일의 수학자인 골드바하는 오일러에게 질문하기를 3보다 큰 임의의 자연수는 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있는가?를 물었으며, 오일러는 대답하기를 '이는 증명할 수는 없지만, 이 문제와 관계있는 가설은 말할 수 있다' 라며 다음과 같은 가설을 말하였다.
가설: 2보다 큰 임의의 짝수는 두 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
사실 오일러가 골드바하의 편지를 보고 세운 이 가설은 골드바하의 문제보다 더 본질적이어서, 이 문제만 해결되면 골드바하의 물음은 자연스럽게 해결된다. 그래서 골드바하에 의해서 제기되고 오일러에 의해서 정리된 위 가설을 후세의 사람들은 ‘골드바하의 추측’(conjecture) 또는 ‘오일러의 추측’이라고 말한다.
오일러가 위의 문제제기 이후 많은 노력으로 20세기 초까지 4부터 90만 까지 짝수를 검토하여 그 범위에서는 이 가설이 틀리지 않았다는 것을 확인하였지만, 그렇다고 해서 4이상의 모든 짝수에 대해서 이 추측이 성립된다고 말할 수는 없다. 또한 아무리 큰 짝수에 대해서 이 가설이 성립된다고 하더라도 이 가설이 증명되었다고는 말할 수 없다. 오히려 계속 확인하다가 이 가설이 성립되지 않는 수를 발견한다면 이 가설이 거짓임을 증명한 셈이 된다. 결국 이 추측은 아마도 맞은 것이라고 예상은 되지만 200년 이상이 지난 지금까지 증명도 반증도 안 된 미해결 문제이다.
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