오늘은 내기문제를 다뤄보도록 하자. 어떻게 하면 확실히 이기는 내기를 할 수 있을까? 이것은 돈 장사들이 머리를 감싸고 생각하는 문제들이다. 예를 들면 보험회사의 펀드를 만드는 사람들이나 은행에서 이자 계산식을 만드는 사람들이 생각하는 돈 벌기 위한 일들이다.
예를 들면 다음과 같은 내기를 한다고 하자. 내기의 조건은 동전을 던져서 앞면이 나오면 건 돈을 잃는 것이고 뒷면이 나오면, 투자한 돈의 2배로 준다고 하자. 물론 앞면과 뒷면이 나올 확률은 50대 50이다. 만일 이 사람이 10,000원에서 시작하고 내기의 횟수는 5,000번을 할 수 있다고 하자.
도중에 돈을 모두 잃는 경우를 막기 위하여 판돈으로 일정한 액수를 사용하기 보다는 투자할 총액의 일정한 비율로 사용하도록 가정하자. 맨 처음 내기의 판돈으로 10,000원의 75%를 건다고 하자. 만일 동전의 뒷면이 나와 졌다면 7,500원을 잃고 2,500원만 남게 될 것이다.
두 번째 내기에 판돈은 2,500원의 75%인 1875원이 된다. 반대로 처음 내기에서 이겼다면 75.000원의 2배인 15,000원을 벌어들여 총 25,000원이 될 것이다. 따라서 두 번째의 내기의 판돈은 25,000원의 75%인 18,750원이 될 것이다. 이런 방법으로 5,000번의 내기를 했다면, 내기가 끝났을 때, 얼마의 돈이 남겠는가? 이것이 우리의 첫 번째 문제이다. 또 내기가 끝났을 때 최소한 처음 내기를 시작했을 때 가졌던 10,000원이 남아 있을 확률은 얼마일까? 하는 문제가 우리의 두 번째 문제이다. 또 만일 장기적으로 자본 증식의 극대화를 위해서 내기의 판돈으로 걸어야 하는 액수는 가진 돈의 몇 %를 거는 것이 좋은가? 하는 문제도 생각 할 수 있다.
이 문제는 별로 어렵지 않을 뿐만 아니라, 그 결과를 보면 우리들의 상식에는 엄청난 차이가 있음을 알 수 있다. 만일, 돈이 X 원이 있고, 그 중에 항상 75%를 판돈으로 건다고 가정해 보면 이겼을 때는 2.5X원, 졌을 때는 0.25X원이 남게 되는데 그 확률은 반반이다. 이 때, 손에 쥐는 평균 액수는 1.375X원이다. 따라서 내기를 5,000번 한 후에 손에 들어오는 평균 액수는 10,000(1,375)를 5,000 제곱을 한 값, 즉, 10,000(1,375) ^{5,000}원이 되어 그 액수는 가히 천문학적인 액수가 될 것이다.
두 번째 문제를 생각해 보자. X원이 있고, 내가 만일 이겼다면, 내기가 끝난 후에는 2,5X원을 가지게 된다. 왜냐하면, 판돈으로 0,75X 원을 걸고 이기면 1,5X원을 따게 되는데 딴 돈을 처음부터 가지고 있던 X원과 합하면 2.5X원이 된다. 만일 내기에서 졌다면 0.25X 원을 가지게 된다. 만일 5,000번의 내기에서 N번 이겼다면 10,000(2.5) ^{N} (0.25) ^{5,000-N} 이 있을 것이다. 5,000번 내기에서 최소한 본전을 가지고 있으려면 (2.5) ^{N} (0.25) ^{5,000-N} 이 최소한 1이 되어야 하고, 따라서 N은 반드시 3,010 보다 커야 한다. 5,000번 의 공평한 내기를 했을 경우에 승리할 확률이 60% 이상일 가능성은 극히 희박하다. 그것은 1/K 보다 작은데 K는 10 ^{44}이다.
세 번째 문제는 승리할 가능성은 절반이기 때문에 P=0.5 이고 이익은 판돈의 2배이기 때문에 W=2이다. 따라서 최적의 판돈은 F=(Pw-1+P)/w=1/4 이다. 따라서 장기 자본증식을 극대화로 하기 위해서는 내기의 판돈으로 걸어야 할 액수는 가진 돈의 25%이라 할 수 있다.
이학박사 김인수, 전북대학교자연과학대학 수학과 교수
