논리는 모든 문제를 해결하는 중요한 역할을 한다. 꼭 수학적이 아니더라도 논리는 우리에게 부딪히는 여러 가지 문제를 해결하는데 많은 도움을 준다. 실제로 우리는 일상생활 속에서 뿐 아니라, 학문을 하는 과정에서도 논리적인 사고를 필요로 하지 않는 곳이 없다. 우리가 중·고등학교 과정을 통해 많은 시간을 할애하여 수학을 공부하는 것도 알고 보면 수학이란 도구를 가지고 두뇌를 훈련시켜 논리적이고 과학적인 사고를 할 수 있는 능력을 기르는데 있다. 우리들의 삶 자체가 옳고 그른 것을 판단의 연속이라 해도 과언은 아니다. 또 올바른 판단은 논리적인 사고에 있다.
논리에서 전문적으로 사용하는 것은 명제인데 명제란 참이거나 거짓이로되 동시에 양쪽은 아닌 서술적인 문장을 말한다. 예를 들면 “2+3은 7이다” 라던가 “한국에는 서울이 있다” 라는 것은 명제이지만 “나는 키가 크다” “꽃이 많다” 등은 명제가 아니다. 그리고 명제들을 결합하여 합성 명제를 만드는데 결합하는 데는 명제 연산자라는 것을 이용한다. 명제 연산자에는 합, 곱, 부정, 조건문 등이 있으며 이런 명제 연산자를 이용하여 소위 진리표라는 것을 만들어 합성명제의 진(true), 위(false)를 따진다.
예를 들어보자. 지금 외국의 어느 섬에 들어가서 원주민의 안내원을 구한다고 하자. 그런데 어떤 질문을 던져서 그 원주민의 정직성을 알아볼 수 있을까? 원주민의 어떤 사람을 만나도 그 사람은 정직하거나 부정직한 사람 중에 하나라고 한다면 정직한 사람을 찾기 위한 질문은 과연 무엇일까? 만일 여러분이 원주민에게 “당신이 정직합니까?” 라고 질문한다면 정직한 사람은 “예”라고 대답할 것이고 부정직한 사람 역시 거짓말을 하기 때문에 그 사람 역시 “예”라고 대답할 것이다. 마찬가지로 “당신이 정직하지 않습니까?” 라고 묻는다면 정직한 사람은 정직하기 때문에 “아니오” 라고 할 것이고 부정직한 사람 역시 정직하지 않기 때문에 “아니오” 할 것이다. 따라서 이런 직접적인 질문을 가지고는 정직한지 정직하지 않은지를 구별할 수 없을 것이다. 그러므로 조건문이나 또는 논리합 혹은 논리곱을 사용하여 다음과 같은 합성 명제의 물음이 필요하다. “만일 당신이 정직하다면 당신은 다음과 같은 질문에 어떻게 대답하시겠습니까? 당신은 정직하지 않습니까?” 우리는 지금 이 질문을 가지고 이 섬의 원주민을 두 부류로 구분하는 방법을 알아본다. 만일 정직한 원주민이라면 이 질문에 “아니오”라고 대답할 것이다. 그러나 정직하지 않은 원주민이라면 거짓말을 해야 하므로 “예”라고 대답할 것이다. 우리는 이 문제에 약간 오락적인 변형을 해서 “만일 당신이 거짓말쟁이라면 다음과 같은 질문에 어떻게 답하겠는가? 당신은 원숭이 입니까?”를 사용한다면 “예”와 “아니오” 로 정직한 사람과 정직하지 않은 사람을 구별할 수 있을까?
논리가 기여하고 있는 분야는 비단 수학뿐만 아니라 모든 학문 분야에 활용된다. 특히 요즈음 우리 생활과 땔 수 없는 분야가 컴퓨터이다. 컴퓨터가 하는 일을 매 순간마다 명제를 통하여 진리표를 이용하여 진위를 판단하고 이런 논리를 계속 사용하여 컴퓨터가 우리들에게 새로운 정보를 만들어 주는 것이다. 진리표는 0과 1을 가지고 2진법을 이용하여 만들어 간다. 고등수학에서는 이런 논리를 다루는 학문을 부울 대수라 하는데 이것은 영국의 수학자이며 논리학자인 부울(Geroge Boole, 1815-1864)가 만든 논리식이다. 이것을 이용하여 논리회로를 만들어 모든 컴퓨터에 응용하고 있다.
이학박사 김인수, 호남수학회장, 전북대학교 자연과학대학 수학과 교수
