점쟁이가 몇 마디의 손님의 말을 듣고 맞추면 사람들은 놀라며 족집게같이 잘 맞춘다고 감동한다. 그러나 실상은 참으로 아무것도 아님 경우가 많다. 이른바, 확률이란 수학적인 도구를 사용하면 점쟁이보다 훨씬 정확하게 추론해 낼 수가 있다. 실제로 선거철이 오면 많은 언론사들이 통계적인 확률게임을 하는 경우가 많고 거의 예측에서 벗어나지 않는다.
돈이 되는 이야기는 아니지만, 수학이란 우리들의 지적 호기심을 자극하는 것이기 때문에 오늘은 한 여자가 두 아이와 함께 오랫동안 외국에 사는 친구의 집을 방문하는 이야기에 숨어있는 수학적인 이야기를 전개해보자. 그 여자는 친구의 가족이 친구 부부와 나이가 다른 두 아이로 구성되어 있는 것은 알지만, 그 아이들이 남자인지 여자인지는 알지 못한다고 가정하자.
오늘의 문제는 이 여자가 친구의 아파트에 도착하여 초인종을 눌렀을 때, 안쪽에서 한 남자 아이가 “누구세요?” 하는 대답을 들었다. 이 때 나머지 한 아이가 역시 남자일 확률은 얼마이냐? 하는 것이 오늘의 문제이다.
사람들은 즉흥적으로 생각하기를 “아이가 하나 더 있다면 이 아이는 남자이거나 여자아이일 것이다. 따라서 나머지 하나가 남자아이일 확률은 50:50, 즉 0.5이다” 라고 생각할 것이다. 미안하지만, 이는 문제를 잘 못 이해한 것이다. 이러한 추론이 잘못된 이유는 무엇일까? 그 이유는 미리 두 아이가 있다고 라고 가정하는데 오류가 있다. 이 문제에 대한 해석을 다음과 같이 재구성한다고 가정해보자. 편의상 남자를 boy=(B), 여자를 girl=(G) 이라 표기하여 문을 두드렸을 때, 안에서 대답한 아이와 나머지 아이로 생각하고 첫 번째 아이는 안에서 대답한 아이이고 두 번째 아이는 다른 아이이다. 그러면 가능한 순서쌍들은 (B, B), (B, G), (G, B), (G, G)와 같다. 그런데 문을 두드렸을 때 안에서 대답한 아이는 남자아이가 대답했다는 사실로부터 뒤에 있는 두 가지의 경우는 제외될 것이다. 따라서 남아있는 순서쌍들은 안에서 (B, B), (B, G) 이다. 그래서 나머지 아이가 남자일 확률은 1/2이라는 결론에 이르게 된다. 이러한 해석에서 잘못된 것은 무엇인가?
아이들은 모든 가능한 경우를 순서 짝으로 생각해보면 총 경우는 (B, B), (B, G), (G, B), (G, G) 와 같이 4가자가 있다. 그런데 초인종을 눌렀을 때 안에서 대답했던 아이가 손위의 아이인지 동생인지는 모르지만, 남자 아이가 대답했다면 처음 나열한 세 개의 순서짝 중의 어느 하나가 이 가족의 아이들을 나타내는 것이 될 터이니 네 번째 경우인 (여자, 여자)는 자동으로 삭제되고 나머지 3가지 중에 하나가 두 번째 아이가 남자일 확률이 되어 그 확률은 1/3이 된다.
독자들을 더욱 혼란스럽게 하기 위하여 다음과 같은 방법으로 해석을 달리해 보겠다. 모든 가능한 순서쌍을 생각해 보자. 첫 번째 아이는 문을 두드렸을 때 안에서 대답한 아이이고 두 번째 아이는 나머지 다른 아이이다. 그러면 가능한 순서쌍을 만들어 보면 다음과 같다. (,), (,), (B, G), (G, B), (,), (,). 이렇게 변화시킨 것이 통찰력이 있어 보인다. 만일 두 명의 남자 아이가 있다면, 둘 중의 어느 하나가 문을 두드렸을 때 안에서 대답한 아이일 것이다. 따라서 이러한 가능성들은 구별해야 할 것이다. 만약 두 명의 여자 아이가 있다 해도 똑같은 추론이 적용될 것이다. 앞에서와 마찬가지로 문을 두드렸을 때 안에서 대답한 아이가 남자 아이이기 때문에 마지막 세 가지의 경우는 제외될 것이다. 따라서 남아있는 순서쌍은 (,), (,), (B,G) 가 된다. 따라서 나머지 한명이 남자일 확률은 2/3이라는 결론에 이른다, 물론 이런 해석도 오류를 품고 있다.
만일 독자여러분이 처음 것과 세 번째 결과에 대하여 옳다는 생각이 든다면 쉽게 실험할 방법이 있다. 동전을 한개 준비하여 남자아이를 동전의 앞면(H), 여자아이를 동전의 뒷면(T)으로 바꾸어 생각하고, 이제 동전을 아무렇게나 두 번 던진 후 그 결과를 종이에 기록해 보아라. 다시 두 번을 던진 후 그 결과를 기록하고, 실험적인 자료를 얻기 위하여 50회를 반복해 보아라. 이것은 아이가 둘 있는 50쌍의 가족을 의미한다. 앞면이 둘인 것은 아들이 둘인 것을 의미하고, 뒷면이 둘인 것은 딸이 둘인 것은 의미한다. 이제 해석적으로 생각하지 말고 실험적으로 자료만 검토해 보자. 하나가 앞면일 때 다른 하나가 앞면일 확률은 얼마인가? 저자는 실제로 동전을 두 번 던지는 실험을 50회 실행하여 그 결과를 표로 만들어 보았더니 하나가 앞면인 것은 43쌍이었고, 이들 중 둘 다 앞면인 것은 15쌍이었다. 이 예를 바탕으로 하나가 앞면인 것들 중 둘 다 앞면인 것의 확률을 계산하면 15/43이 되어 약 0,3488이 된다. 이는 1/3에 매우 가까운데, 우리의 분석이 예측했던 것과 같은 것이다.
