오늘은 짝퉁의 진주를 식별하는 진주문제를 생각해보자. 상점에 아홉 개의 진주가 있는데 그 중 한 개는 겉모양은 똑 같지만 짝퉁이라고 한다. 이 짝퉁은 너무나 모양이 똑 같아서 눈으로는 판별을 할 수 없다고 한다. 다만, 손으로는 구별할 수 없을 정도로 약간의 무게만 다르다고 한다. 진주의 무게가 다른 하나의 짝퉁은 무거운지 가벼운지 모르지만, 분명히 진짜와는 무게가 다르다고 한다. 그리고 이 짝퉁을 구별할 수 있는 도구는 오직 양팔저울이라고 하는 저울이 한 개 있을 뿐이다. 그런데 이 양팔 저울을 오직 세 번만 사용해서 이 짝퉁을 찾는 것이 오늘의 문제이다.
이른바, 막고 품는 요행수를 의지한다면, 하나씩 모두 무게를 달아보아야 하겠지만, 제약조건이 단 3번만 저울을 이용하라는 것이다. 세상사가 그렇게 여유롭지 못하기 때문에, 모든 문제들은 이와 같이 제약 조건을 가지고 있다.
양팔저울에 진주들을 각각 한 개씩 올려놓아 그것이 수평을 이룬다면 무게가 같은 것이고, 무게가 다르면 기울 것인즉, 무게가 무거운 것이 짝퉁인지 아니면 가벼운 것이 짝퉁인지 모른다. 분명한 것은 그 중에 있는 짝퉁 진주하나는 무게가 다르다는 것이다.
이 문제를 해결하기 위하여 먼저 진주를 세 개씩 세 그룹으로 나눈다면, 오직 3번으로 제한된 횟수를 좀 더 효과적으로 이용할 수가 있을 것이다. 왜 하필이면 세 개씩 나누는가? 그 이유는 3이라는 숫자는 1과 9를 제외하고 9개를 똑같이 나눌 수 있는 유일한 수이기 때문이다. 우리는 세 개씩 나누어진 각각의 그룹을 하나의 커다란 진주라고 생각할 수가 있다.
이들 각각을 , , 라 하자. 그리고 이제 , 는 양팔저울에 양쪽에 올려놓고 비교해보자.
(1) 만일 두 그룹이 수평을 이룬다면, 이 여섯 개의 진주는 모두 진짜인 것이고, 에 속한 진주들 속에 짝퉁이 있다.
(2) 만일 두 그룹이 수평을 이루지 못했다면, 이 여섯 개의 진주중에 짝퉁이 있고 에 속한 진주들은 진짜이다.
먼저 (1)인 경우에 문제를 해결해 보면, 두 번째 단계로 과 와 비교해보면, 양팔저울은 당연히 수평이 되지 않고, 즉, 의 무게가 더 가볍거나 무거울 것이다. 그러므로 두 번째 양팔저울의 시행은 자연스럽게 에 속해 있는 세 개의 진주중 두 개를 양팔 저울에 올려놓는 것이다. 다행히 두 개의 무개가 같으면 나머지 하나가 짝퉁임을 알 수 있다. 만일 두 개의 무게가 다르면 그 중에 하나는 짝퉁이니, 세 번째 저울을 사용해야 한다. 한 개를 바꾸어 올려놓아 무게가 같으면 내려놓은 것이 짝퉁이고, 다르면 원래 있던 것이 짝퉁이다.
(2)의 경우에는, 이나 에 짝퉁이 들어 있음을 알 수 있다. 먼저 과 의 무게를 비교하자. 만일 두 그룹의 무게가 같으면 짝퉁의 진주는 에 있을 것이고, 다르면 짝퉁의 진주는 에 있을 것이다. 그래서 우리는 어떤 경우에도 두 번 측정하여 짝퉁이 들어 있는 그룹을 찾아 낼 수 있다. 마지막으로 우리는 짝 퉁이 들어 있는 그룹의 두 개를 양팔저울에 올려놓음으로 무게가 같으면 나머지 한 개가 짝퉁임을 알 수 있고, 다르면 그 중하나를 바꾸어 (1)번과 같은 방법으로 짝퉁을 구별해 낼 수 있는 것이다.
우리는 이 문제에서 최선의 전략은 진주를 세 개씩 묶어서 세 개의 커다란 진주를 만드는 것이라는 방법은 착안하기만 하면 문제는 그 다음의 과장은 거의 자동적으로 이루어져 의외로 쉽게 해결되는 것을 알 수 있다. 이와는 달리 세 그룹으로 나누는 방법을 (2,2,5) 또는 (4,4,1) 의 형태로 나눈다면 그 다음에는 문제가 미궁으로 빠져 들어가서 결국은 해결할 수 없을 것이다. 우리는 이것의 응용문제로 다음과 같은 문제를 독자들이 해결해 보기 바란다.
(문제) 13개의 진주중 짝퉁이 하나 있다. 양팔저울을 세 번만 이용하여 짝퉁을 찾을 수 있음을 보여라.
