요즘은 모든 일이 재미있어야 하는 세상이 되었다. 그래서 수학도 딱딱한 수학은 싫어해서 한국과학창의재단에서는 실생활과 깊은 관련이 있는 흥미로운 수학교재를 개발한다고 한다. 필자도 여기에 부응하여 재미있는 놀이와 같은 수학이야기를 쓰려고 한다.
우선 magic square 라고 하는 마방진을 이야기를 해보자. 마방진에는 여러 가지가 있지만 가장 기본적이고 간단한 것은 3행3열로 된 정사각형으로 만들어진 마방진이다. 문제는 이 9개의 칸에 1에서부터 9까지의 자연수를 사각형 안에 넣어서 각행과 각 열의 수의 합이 모두 일정하게 만드는 문제이다. 단 1에서 9까지의 수는 한번만 사용해야한다.
이 문제를 풀기 위하여 먼저 각 행 또는 각 열의 합이 얼마가 되는지를 살펴보자. 세 개의 행이 있기 때문에 그 합 을 S라 하면 3S가 나온다. 그리고 이 합은 각각의 사각형안의 수를 꼭 한 번씩만 더한 것이 되므로 3S=1+2+3+4+5+6+7+8+9가 되어 3S= 45가 된다. 따라서 각 행과 열의 합은 15가 됨을 알 수 있다. 따라서 각 행과 열의 합이 15가 되도록 1부터 9까지의 숫자를 배열해야 한다.
가장 큰 수부터 시작하는 것이 유용한 경우가 많으므로 중앙에 9를 넣어보자. 그러면 9의 상하좌우에 넣을 수들은 상당히 제한된다. 다시 말하면 합이 15가되도록 하기 위해서는 1+5나 2+4 또는 3+3만이 9와 더하면 15가 된다. 그런데 3+3은 3이 한번 밖에 사용해야 하는 규칙에 위반되기 때문에 사용할 수 없으므로 가운데에 있는 9의 좌우에 각각 4와 2를 넣고, 상하에 5와 1을 넣어보자.
그런데 이때, 3은 가장 아래쪽 행에 넣을 수가 없다. 왜냐하면 1+3이 너무 작아서 8 이하의 수를 세 번째 수로 더해서는 15를 만들 수가 없기 때문이다. 따라서 3을 가장 위쪽 행의 왼쪽 구석에 넣어보자 그러면 가장 위쪽 오른쪽 구석에는 7을 넣어야한다. 그러면 가장 아래쪽 행의 오른쪽 구석에는 6을 넣어야하고 왼쪽 구석에는 8을 넣어야 한다. 이때 우리는 아래와 같은 3열의 합과 3행의 합을 확인해보면, 우리가 처음에 원했던 마방진이 완성됨을 알 수 있다.
그러나 이제는 이 문제를 응용하여 각 행과 열 뿐만 아니라 대각선의 합까지도 같게 되는 마방진을 만들어 보자.
위의 마방진은 행과 열뿐만 아니라 대각까지도 그 합이 15로 일정하게 된다. 수학자들은 어떻게 이러한 마방진을 찾아냈을까? 아마도 처음에는 많은 시행착오를 거쳤을 것이다. 먼저 중앙에 들어갈 수 있는 수는 1부터 9까지 아홉 가지 방법이 있다. 누구라도 아홉 가지 중에 한가지방법을 사용하면 우리가 원하는 마방진을 만들 수 있으리라고 믿어 의심치 않는다. 3x3 마방진보다 4x4, 5x5 또는 6x6 마방진을 다룰 때는 더욱 힘들어질 것이다. 그래서 우리는 이 문제를 다둘 때에는 적절한 전략을 세우는 것이 바람직하다. 전략을 세우기 전에 먼저 관찰을 좀 하고서 시작해야 한다. 때때로 우리는 어떻게 접근해야 될지 모를 때, 쉽게 파악할 수 있는 원리들이 무엇인지에 대해서 살펴보는 것도 필요하다.
