오각형이란 변이 다섯 개인 도형이다. 정오각형의 한 각의 크기는 108˚이고 내각의 합은 540˚이다 그리고 모든 변의 길이가 같은 오각형을 등변오각형이라 하고, 모든 각의 크기가 같은 오각형은 등각오각형이라고 한다. 삼각형을 제외한 모든 다각형과 마찬가지로 오각형은 각의 크기가 같지 않아도 모든 변의 길이가 같을 수 있다. 또 변의 길이는 서로 달라도 각의 크기가 모두 같을 수가 있다. 각의 크기와 변의 길이가 모두 같은 오각형이 정오각형인데, 정오각형은 한 내각의 크기가 108°로 원에 내접할 수 있다. 또한 원에 내접한 정오각형의 각 꼭지점에서 접선을 그리면 원에 외접하는 정오각형이 생긴다. 축구공은 12개의 정오각형과 20개의 정육각형으로 이루어진 32면체 정다면체이다.
별의 독특한 기하학을 깊이 살펴보는 것은 우리를 오각형의 원형의 핵심으로 더 가까이 다가가게 한다. 거기서 우리는 그 힘의 원천과 자연에 오각형이 나타나는 것의 비밀과 그것이 우리에게 미치는 심리적 효과를 발견할 수 있을 것이다. 오각형은 자신의 이미지를 끝없이 반복한다. 먼저 정 오각형의 꼭지점들을 연결하면 별의 모양이 되고 그 별의 내부를 보면 다시 새로운 오각형이 된다. 다시 오각형의 끝점을 연결하면 더 작은 별이 된다. 이런 일을 반복적으로 계속하면 펜타그램 이라는 것을 만든다. 밤하늘에 보이는 별을 ☆모양으로 하자고 처음 제안한 사람은 그리스의 수학자 피타고라스로 알려져 있다. 오각형 속에서 각 꼭지점을 연결하면 바로 별 모양이 나온다. 그런데 오각형 속의 별 모양을 자세히 보면 제일 작은 선에서부터 그 다음 길이의 선이 황금분할(1:1.618)로 되어 있고, 그 선은 또 그보다 긴 선과 황금 분할로 되어 있다는 것을 확인할 수 있다. 즉 가장 작은 선에서부터 가장 긴 선까지 차례로 황금 분할로 이루어져 있는 것이다. 가장 완벽한 모양 속에 가장 아름다운 비율로 선들이 그려진 것이다. 비록 우연하게 만들어진 모양일 수 있지만 ☆모양은 완벽함과 아름다움을 함께 갖춘 모양이다. 황금분할이라고 하는 것은 가로 세로의 길이 비가 1:1618인 것으로 이때 물체가 가장 아름답게 보인다고 한다.
생명체의 이 매력적인 특징은 흥미롭게도 자기 자신을 영원히 더 작게 또는 크게 복제하는 펜타그램으로 기하학적 성질과 일치한다. 펜타그램 별은 자기 중앙의 정오각형 안에서 자신을 복제하면서 거꾸로 뒤집히는데, 그 중앙에도 정오각형이 있어서 그 속에 뒤집힌 별들이 계속 끝없이 나타나게 된다. 부분으로부터 전체가 자라나는 재생의 원리는 도처에서 발견된다. 잎 한 장 속의 잎맥은 나무 전체의 가지가 뻗어나가는 패턴을 보여주고 고사리와 같은 양치류는 잎의 작은 부분이 전체 잎과 그 식물 전체의 모양과 거의 닮았다. 부분 속의 전체라는 원리는 큰 나무의 가지로부터 작은 나무를 자라나게 하는 분제의 기본 원리이다. 나뭇잎이 잔가지 주위에 뻗어 있는 것과 똑같은 패턴으로 잔가지가 가지 주위에 뻗어 있고, 큰 가지 역시 똑같은 패턴으로 줄기에서 뻗어 나와 있다. 같은 방법으로 하면 생성되는 별과 오각형의 앞 두 변의 합은 새로운 도형의 한 변의 길이와 같다. 다시 처음으로 돌아가 가장 안쪽에 있는 정오각형의 변의 길이를 a, 그 다음에 생기는 별의 변의 길이를 b 라 하면 다음과 같은 수열이 만들어 진다.
a, a+b, 2a+b, 3a+2b, 5a+3b, 8a+5b, …
이 때, a=1, b=1 를 대입하면 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …이 되어 우리가 알고 있는 잘 알려진 피보나치수열을 얻을 수 있다.
저작권자 © 전북도민일보 무단전재 및 수집, 재배포 금지