수학자들은 세제곱 수를 다른 자연수들을 사용하여 표현할 수 있을까? 를 생각하였고, 역으로 임의의 자연수를 세제곱수를 사용하여 표현하는 방법을 생각하였다. 첫 번째 질문은 서기 1 세기경에 니코마코스라는 수학자가 그의 책인 ‘산술입문’이라는 책에서 그 대답을 하였다. 그는 말하기를 세제곱수는 언제나 연속된 홀수의 합과 같은 것으로 다음과 같이 표현될 수 있다고 서술했다.
=1=1, =8=3+5, =27=7+9+11, =64=13+15+17+19......
그러나 역으로 세제곱수를 사용한 자연수의 일반적인 표현에 관한 답을 찾기는 매우 어려웠다.
예컨대, 23 = ++++++++ 이다.
그러나 23과 같이 8도 또한 을 여덟 번 더하여 만들 수가 있기 때문이다.
실제로 8 이란 수가 왜 중요한지는 몰랐지만, 최근 컴퓨터의 발전으로 인하여 이른바 진법이란 개념이 나오고 각 각은 0과 1 두 수를 이용하여 2진법을 사용하게 된다. 여기에서 비트란 개념이 나오게 된다. 그리고 한 단어에 해당되는 바이트는 8개의 비트를 몪어서 한 단어를 만든다. 수를 표현하는 방법으로 임의의 수 0, 1, 2,…, p－1의 p개의 정수를 사용하여 나타내는 기수법을 p진법이라 한다. 기수법이 어렵다고 느껴지는게 사실이다. 하지만 반장 선거에서 흔히 사용하는 ‘바를 정(正)’ 기호도 기수법의 일종으로 우리가 이미 기수법의 세계에 살고 있는 것이다.
문명의 시작과 동시에 사용해 온 기수법은 일반적으로 10진법이 사용되고 있다. 0, 1, 2,…, 9의 열개의 숫자를 사용하는 10진법은 인도에서 발명된뒤 아라비아를 거쳐 유럽으로 전파됐다.
이집트, 로마를 비롯한 대부분 지역에서 10진법을 사용하고 있다. 이 외에도 2진법, 5진법, 7진법, 12진법, 20진법, 60진법 등이 있다.
우리는 역사에서 갑자사화, 갑오경장, 임진왜란 등을 배운다. 갑자, 갑오, 임진 등은 어떤 사건이 일어난 해를 나타내는데 갑, 을, 병, 정, 무, 기, 경, 신, 임, 계라는 열개의 천간과 자, 축, 인, 묘, 진, 사, 오, 미, 신, 유, 술, 해라는 열두개의 지지를 서로 결합하면 갑자, 을축 등이 되고 60년이 주기다. 수학적으로 60진법인 셈이다. 고대 바빌로니아에서 처음 사용된 60진법은 천문학이나 수학의 어려운 계산에 사용되기도 하고 일상에서 한 시간은 60분, 1분은 60초와 같은 시간과 원의 중심각이 360° 인 각도의 단위로 사용된다.
유럽에서는 12진법을 일부 사용한다. 12개를 1다스, 12다스를 1그로스라 하고 영국에서는 1파운드가 12온스이다. 영국 작가 스위프트가 쓴 걸리버 여행기에 나오는 소인국도 12진법을 사용한다. 소인국 왕은 걸리버에게 1728명분의 식량을 지급하였는데 걸리버의 키가 소인국 사람의 12배로 생각하여 그 부피는 소인의 부피의 12× 12× 12 = 1728배가 되어 음식도 그만큼 필요했던 것이다.
고대 마야와 아메리카에서는 손가락과 발가락 20개를 사용한 20진법을 사용하였으며 7진법은 달력에 사용하고 있다. 가장 합리적인 기수법은 2진법이라 알려져 있다. 독일의 수학자 라이프니츠는 이 세상을 표현할 보편적 기호를 연구했고 0과 1만으로 모든 수를 적을 수 있는 2진법을 고안했다. 0과 1만으로 세상을 설명한 것이다. 이 2진법은 현대의 컴퓨터와 바코드의 기본 원리로 활용되고 있다. 양효와 음효의 두 가지로 세상의 이치를 설명한 주역도 이진법의 원리와 같다. 동양사상 깊은 곳에 기수법이 숨어 있는 것이다.
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