6이란 수는
6이란 수는
  • 박공숙
  • 승인 2011.04.07 16:10
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6이란 수를 기독교에서는 사람의 수라 한다. 그런데 정신문명의 발상지인 그리스에서는 6을 최초의 완전수(perfect number)라 한다. 왜 그랬을까? 그 이유는 자신을 제외한 6의 약수는 1, 2, 3이고 그 합이 다시 6이 되기 때문인 것이다. 그런데 로마 사람들은 6을 사랑의 여신의 수라 여겼는데, 그 이유는 6은 홀수와 짝수의 곱으로 된 최초의 수였기 때문이다. 그들은 홀수는 남성의 수라 믿었고, 짝수는 여성의 수라 생각했다. 고대 히브리 사람들은 하나님이 천지를 창조할 때 하루가 아닌 6일을 선택한 이유를 6이 더 완전한 수이기 때문이라 믿었다. 반면에 피타고라스는 10을 완전수라 했다. 그 이유는 10은 그에게 기하학적인 형태를 갖는 점, 선, 평면, 공간을 1, 2, 3, 4 와 대응시켜 그 합이 10이 되기 때문이라고 믿었다.

두 번째 완전수인 28은 1+2+4+7+14 인데 이것들의 유사점은 대수적으로 표현되면 명백해 진다. 실제로, 예수가 태어나기 300년 전에 유클리드에 의해서 완전수에 대한 기본 정리가 발표되었고, 완전수가 6부터 시작하여 28, 496, 8,128 오직 4개만 발견되었을 뿐이다. 수학자들은 완전수의 모형을 조사하기 위하여 거듭제곰의 법칙을 이용하였다. 즉, 유클리드는 6=(-1)=2x3, 28=(-1)=4x7 임을 착안하여 (-1)이 소수가 되어야 한다는 사실을 착안하였다. 그리고 다섯 번째 완전수인 33,550,336이란 수가 발견되기 까지는 무려 1400년이 지났다. 그런데 이것들은 과연 어디에 무엇을 위하여 사용하는지에 대해서는 지금도 모른다. 그러나 마치 그리스 시대에 만든 타원의 공식이 우주여행에 사용되듯 언젠가는 완전수이론도 필요할 것이라고 추측한다.

유클리드의 공식에 따라 33,550,336에 대한 표현은 (-1)이 완전수가 되기 위해서는 먼저 -1이 소수임을 증명해야 한다. 즉, -1=8,191이 소수(prime)인지를 확인해야 하는바, 이 수의 제곱근은 90과 91 사이의 수이다. 그런데 90보다 작은 소수는 24개가 있고, 이 들 중 어느 것도 8191을 나누어 질 수 없음을 확인해야 이 수가 소수라고 말 할 수 있다. 이 수가 소수임을 확인하는 작업이 손으로 계산해서는 그리 쉬운 일은 아니다. 이것이 소수임이 확인되면 2048과 와 을 곱한 수인 33,550,336 가 비로소 완전수가 된다. 시간이 있는 독자들은 (-1)이 완전수임을 증명해보기 바란다. 많은 수학자들은 네번째 이후의 완전수들을 찾는데 그 계산이 복잡하여 완전수가 아닌 수를 완전수라고 자주 발표하였었다. 어떤 엉뚱한 발상을 가진 수학자들은 홀수 번째 완전수는 끝자리 수가 6으로 끝나고 짝수 번째 완전수는 끝자리수가 8 로 끝난다고 가정했지만 결코 교대로 나타나지 않는다는 것이 6번째 완전수가 8,589,896,056이 됨으로 그 가설은 종식되었다. 어떤 수학자들은 첫째 완전수는 1자리수이고 두 번째 완전수는 2자리 수이고, 3번째 완전수는 3자리수이며 4번째 완전수는 4자리수이니 5번째 완전수는 아마 5자리수에 있을 것이라는 추측도 8자리수인 33,550,336이 나온 후에 이 가설 역시 파기 되었다.



완전수를 찾는 연구는 천주교 사제였던 메르센을 빼놓을 수 없다. 메르센은 1644년에 완전수는 (-1), (-1), (-1), (-1), (-1), (-1), (-1), (-1), (-1), (-1), (-1) 이라고 했다. 그가 마지막에 발표한 11번째 완전수는 그가 연구한 가장 큰 소수인 -1을과 곱한 수이다. 그러나 그가 주장한 사실은 어느 누구도 판정할 수 없었다고 생각했고, 그의 주장의 근거는 천재성에 의해서만 의미를 찾을 수 있을 것이다. -1 이란 수는 무려 79자리수로서 도대체 그 시대에 어떻게 이렇게 큰 수를 찾았는지는 미스터리이다. 그 후 사람들은 완전수가 되는 소수를 메르센 소수라고 한다. 메르센 수는 컴퓨터의 발전으로 검토한 결과 그 중 8번째와 9번째 완전수가 틀렸다는 사실이 알게 된 것은 300년이 훨씬 넘은 후 였다. 1952년 메르센 수의 장벽을 무너뜨린 기계는 SWAC 라고 부르는 컴퓨터이다. 이 컴퓨터는 무려 -1 의 소수를 계산할 수 있었다. 이 컴퓨터를 이용하여 1952년 1월 31일 밤 거의 26세기 만에 발견된 13번째의 완전수는 (-1) 였다. 그리고 몇 시간 후에 -1 이 메르센 소수라고 알려줬다. 그리고 30년이 지난 뒤에 로빈슨 교수는 ICM 컴퓨터를 이용하여 31개의 메르센 소수를 찾아냈다. 컴퓨터의 발전으로 지금까지 밝혀진 메르센 소수는 65,050 자리의 수이고 이로부터 얻는 완전수는 130,100 자리수로서 (-1)이다. 그렇다면 얼마나 많은 완전수가 존재하는가? 완전수는 유한한가? 아니면 무한한가? 유클리드의 질문은 아직도 해결되지 않고 있다.

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