스위스의 수학자이며·물리학자인 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783)는 수학·천문학·물리학뿐만 아니라, 의학·식물학·화학 등 많은 분야에 걸쳐 광범위하게 연구하였다. 그는 수학분야에서 미적분학을 발전시키고, 변분학을 창시하였으며, 대수학·정수론·기하학 등 여러 방면에 걸쳐 큰 업적을 남겼다. 말년에 시력을 잃고 장님이 되었으나, 천부적인 기억력과 강인한 정신력으로 연구를 계속하였다. 오일러가 수학자로서의 연구를 시작한 시기는 뉴턴이 죽은 시기에 해당하여 해석기하학·미적분학의 개념은 갖추어져 있었으나 조직적 연구는 초보단계로 특히 역학·기하학의 분야는 충분한 체계가 서 있지 않았다. 비록 시력은 잃었으나 오일러는 241의 4제곱이나 33의 7제곱 같은 수를 암산했고 아주 어려운 계산도 50 자리까지 정확히 했다고 한다. 그는 100개의 소수와 그것의 제곱수부터 여섯 제곱수 까지 모두 외워 계산에 활용하고 로그표까지 머리에 있었다. 또한 소년시절에 외운 400 페이지 분량의 책, 1만 2913행으로 이루어진 아이네이스라는 시를 반세기가 지난 노년에도 글자 하나 틀리지 않고 암송했다고 한다.
오일러의 위대한 역작은 홀수점이 0개, 2개인 것만 한붓그리기가 가능하다는 것을 풀어낸 것이다. 이 문제의 해결은 단순히 쾨니히스베르크 다리 건너는 문제의 호기심을 해결해주는데 그치지 않고 그래프 이론의 시초가 되었는데, 그래프 이론은 전기회로 이론에도 적용되며, 요즘엔 교통공학, 통신공학, 경영학, 컴퓨터 프로그램 등에 널리 쓰인다. 그는 수학 이론의 책을 집필할 때도 독자의 수학의 이해력이 없다는 전제하에 쉽게 썼다. 정다면체의 면의 수, 꼭지점의 수, 모서리의 수 사이의 관계인 ‘면의 개수 + 꼭지점의 개수 - 모서리의 개수’는 항상 2 로 일정하다는 결과를 증명한 오일러의 표수는 너무나 유명한 업적이다. 뿐만 아니라 오일러는 베레누이의 제자로서 미적분학을 발전시켰고, 정수론을 하나의 분야로 정립시키는 데에도 크게 기여했다. 특히, 정오각형과 정육각형으로 이루어진 축구공의 표면에도 ‘오일러의 다면체 정리’라는 공식이 숨어있을 정도이다. 그러나 뭐니뭐니 해도 오일러의 업적은 분할(partition)의 연구라 할 수 있다. 오각수가 중요한 역할을 할 것이라고는 아무도 예상하지 못했던 바로 그곳에서 오일러는 분할 이론의 체계를 세우므로 현대수학을 세우는데 가장 중요한 함수중의 하나인 생성함수(generating function)를 만들었다. 분할 이론에서는 수를 그것의 부분들의 합으로 표현할 수 있는 가짓수에 관심을 가진다. 예를 들어 5를 1,2,3,4,5의 합으로 표현할 수 있는 서로 다른 방법은 얼마나 많이 존재할까? 그 답은 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1 등 모두 7가지 방법이 있다. 오일러는 일반적으로 n 이라는 수의 분할방법의 규칙을 찾으려는 노력을 하였지만 그 방법은 일정한 관계가 없는 것을 알았고 쉽지 않았다. 오일러가 분할이론에 공헌한 것이 바로 오각수와 분할 사이의 관계를 발견한 것이며 여기에서 만든 것이 생성함수이다. 그는 생성함수를 이용하여 200의 분할 방법은 무려 3,972,999,029,388가지나 된다는 사실도 찾아냈다. 그가 만든 오각수와 분할과의 관계식은 =(-)/2 이다.
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