수에 적용된 평방수(제곱수)의 개념은 고대 피타고라스학파에서 유래되었다고 한다. 신기하게도 =1 이고, =1+3, =1+3+5, =1+3+5+7, =1+3+5+7+9,.....이 되어 제곱수는 연속된 홀수들의 합으로 표현된다. 뿐 만 아니라, 제곱수는 그 수의 자신의 곱이기도 하다. 모든 수는 그것의 제곱이 존재한다. 이 사실은 굳이 언급할 필요조차 없다. 이는 어떤 수와 자신과의 곱으로서의 제곱수에 대한 정의가 이미 함축되어 있기 때문이다. 이런 제곱수가 무한이 많이 존재한다는 사실은 수학자로 보다 천문학자로서의 명성이 더 높은 갈릴레오에 의해서 증명되었다. 갈릴레오는 천문학자와 경험철학자로 알려져 있지만 사실 그는 수학교수였다. 그는 결론지어 말하기를 같음과 많고 적음 등과 같은 속성은 무한대에서는 적용되지 않으며, 단지 유한한 양에서만 적용된다고 하였다. 갈릴레오의 이 결론은 현대수학에서 가장 중요한 정의 중 하나인 ‘전체와 부분이 일대일 대응관계에 있으면 그 집합을 무한이다’ 는 결론에 도달한다.
제곱수에 대한 최초의 문제는 피타고라스의 정리라고 하는 직각삼각형의 빗변의 제곱은 나머지 두변의 제곱의 합과 같다는 명제이다. 이미, 이 정리는 중학교 2학년 수학책에서 보편적으로 다루는 문제인바, 이런 피타고라스의 직각삼각형은 피타고라스가 죽고 약 700년이 지난 후에 그리스의 수학자인 디오판토스가 저술한 작은 책에 기록되었다. 대수학의 아버지라고 불리는 디오판토스가 지은 불후의 명작인 산수론(Arithmetica)은 13권 중 6권이 현재까지 남아 있다. 이 책에는 주로 1차부터 3차까지의 정방정식과 부정방정식의 문제와 해법이 다루어져 있다. 특히, 해법의 부정해석은 디오판토스의 해석이라고 불린다. 그는 마이너스, 미지수, 상등개념, 거듭제곱 등의 기호를 만들어 사용했다. 그의 산수론은 후에 아라비아어로 번역되어 그곳 학자들에게 많은 영향을 끼쳤으며, 나중에는 라틴어로 번역되어 중세 말기에 유럽으로 전파되어 대수학 발달에 크게 공헌했다. 그의 저서 중 ‘주어진 제곱수를 2개의 제곱수로 나누어라’라는 문제는 뒤에 페르마에게 영향을 끼쳐, 페르마의 정리가 되었다고도 한다. 실제로 그가 제시했던 문제들 외에는 그에 대하여 알려진 것이 거의 없기 때문에 그가 살았던 시대마저도 다른 사람들의 글을 통해 어림잡을 수밖에 없다. 하지만 그가 마지막으로 제시했던 문제가 새겨진 다음과 같은 비문이 그의 사생활에 대하여 알 수 있는 전부라고 한다. 그의 비문에는 다음과 같은 문제가 기록되어 있다고 한다. 즉, ‘신은 그에게 일생의 6분의 1을 어린이로 살게 하였고, 12분의 1이 더 지난 후에 그의 뺨에 수염이 났으며, 7분의 1이 더 지난 후에 결혼식의 화촉을 밝혔다. 그리고 5년 후에 아들을 낳았지만, 불행스럽게도 그 아이는 아버지의 삶의 2분의 1을 살고 이 세상을 떠났다. 그래서 디오판토스는 4년의 남은 생을 슬픔을 억누르며 살다가 이 세상을 떠났다.’고 기록되었다고 한다. 그런데 흥미롭게도 이 수치들은 그의 생존기간을 알려준다. 를 디오판토스가 죽었을 때의 나이라고 생각하면 이 비문의 문제는 다음 방정식에서 에 대한 풀이가 된다.
=+++5++4
이것을 디오판토스 문제라 부르는 형태의 문제는 아니다. 진정한 디오판토스의 문제란 피타고라스 삼각형에 대한 정수해를 찾는 문제이다. 이 문제는 직각 삼각형의 빗변의 제곱이 주어졌을 때, 다른 두 변의 제곱을 찾는 문제이다. 그가 세상을 떠나고 거의 1400년이 지난 후 페르마(Pierre Fermat, 1601-1655)는 30세가 지나서 처음으로 디오판토스의 산학을 구하여 낮에는 변호사로 활동하면서, 밤에는 아마추어 수학자로 연구하여 저 유명한 페르마의 마지막 정리를 만들어 낸다. 페르마의 마지막 정리는 다음과 같다.
'+= 에서 이 3 이상의 정수인 경우, 이 관계를 만족시키는 자연수 는 존재하지 않는다.'
저작권자 © 전북도민일보 무단전재 및 수집, 재배포 금지
