(중등 NIE)수학이야기
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  • 최고은
  • 승인 2011.03.17 15:16
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3이라는 숫자
오늘은 3이란 숫자에 대하여 말해보고자 한다. 3이란 흥미로운 수이다. 왜냐하면 3은 최초의 전형적인 소수이고 소수들은 수학자들에게 있어서 참으로 많은 도전과 연구의 땀을 흘리게 하는 수이다. 유명한 영국의 수학자인 고드프리 하디(Godfrey H. Hardy, 1877~1947)는 해석적 정수론에 많은 업적이 있으며, 푸리에 급수에 기여를 하였고, 하디바인베르크의 법칙을 제시하기도 하였다.

소수란 2와 3과 같이 자신과 1로만 나누어떨어지는 수를 말한다. 소수들은 곱셈을 통해 다른 모든 합성수를 만들어 낼 수 있는데 바로 이런 이유 때문에 소수를 수 체계의 기본 원소라고 부른다. 그런데 놀라운 것은 2를 제외한 모든 소수들은 홀수이다. 왜냐하면 2 보다 큰 모든 짝수들은 소수인 2로 나누어떨어지므로 합성수이기 때문이다. 그래서 3은 최초의 소수는 아니지만, 최초의 전형적인 소수라고 말해도 무방하다. 소수에 대한 최초의 정의는 유클리드 원론에 등장한다. 소수의 특징은 그 개수를 한 직선위에 나열할 수 있으나 합성수는 최소한 두가지 이상의 방법으로 표기가 가능하다. 다시 말하면 합성수는 직사각형으로 그 수를 배열이 가능하여 어떤 사람들은 소수를 직선 수, 합성수를 직사각 수라 말하기도 한다. 소수는 흥미롭지만 대답하기에 어려운 많은 문제들을 주기 때문에 수 천 년 동안 수학자들의 마음을 사로잡아 왔다. 소수에 대한 최초의 질문은 얼마나 많은 소수가 존재하는가? 이다. 좀 더 수학적인 표현을 빌리자면 소수의 집합이 유한인가? 아니면 무한인가? 이다. 이 질문은 유한이라면 물리적인 문제요 만일 무한이라면 이것은 마지막 수가 존재하지 않기 때문에 무한집합에 관한 문제는 어떤 의미에서 정신적이다 라고 말할 수 있다. 자연수는 무한인 것은 쉽게 알수 있다. 왜냐하면 임의의 자연수에 1을 더함으로써 언제나 또 다른 자연수를 얻기 때문이다. 임의 의 짝수에 2를 더해서 새로운 짝수를 얻을 수 있고, 임의의 홀수에 2를 더해서 또 다른 홀수를 만들 수 있다. 그러나 마지막 짝수도 없고, 마지막 홀수가 없듯 마지막 자연수도 없다. 그런데 소수의 경우는 똑같은 간격으로 홀수와 짝수가 배열되어 있는 자연수와는 다르게 전혀 규칙 없이 나오는 특징이 있다. 이런 소수가 무한개가 존재한다는 것을 이미 기원전 300년경에 유클리드가 저술한 원론에 나온다. 이증명은 오늘날에도 수학자들 사이에서 부러움을 일으키는 수학적 아름다움의 특성을 갖고 있다.



소수가 무한하다는 유클리드의 증명은 자연수가 무한하다는 증명과 마찬가지로 명료하다. 그 증명은 한 무리의 소수들을 서로 곱해서 얻은 수의 바로 다음수가 그 무리에 속환 소수로 나누어떨어지지 않는다는 간단한 사실에 의존한다. 실제로 그 수는 소수일 수도 있고 합성수 일수도 있다. 유클리드가 알고 있던 것은 임의로 선택한 한 무리의 소수를 곱한 다음에 1을 더하면 그 수는 소수인 것을 알았던 것이다. 왜냐하면 소수가 아닌 1을 제외하면 어떠한 수도 인접하는 두수를 동시에 나누어 떨어뜨릴 수 없기 때문이다. 예를 들면, 두 소수 2와 3을 곱하면 6이 되고 그 수에 1을 더하면 7이 되어 또 다른 소수가 된다. 세 소수의 무리인 2, 3, 5를 곱하면 30이 되고 그 수의 다음수인 31은 소수이다. 또 다른 소수의 무리 2, 3, 5, 7 를 곱하면 210이 되고 1을 더한 211을 소수이다. 이런 방법을 계속하면 무한히 많은 소수를 만들 수 있다는 것이 유클리드의 방법이다. 같은 방법으로 3을 거듭제곱을 통하여 합성수를 만들 수 있는바, 3의 거듭제곱은 무한이 계속할 수 있으므로 합성수도 무한이 많다는 것을 논할 수 있다. 소수는 2와 3을 선두로 시작하고 13과 17이 뒤 따르며 점점 더 간격이 벌어짐을 알 수 있다. 흥미로운 것은 소수는 계속해서 점 점 더 희박해 지는데 합성수는 계속해서 더 많아진다. 예를 들면, 먼저 1부터 6까지의 수를 곱해서 720을 얻는다. 그러면 722, 723, 724, 725, 726 이 모두 합성수가 된다는 사실을 알 수 있다. 720은 2로 나누어떨어지고, 마찬가지로 722도 2로 나누어떨어진다. 또, 720은 3으로 나누어떨어지므로 723도 3으로 나누어떨어진다. 724는 4로 나누어떨어지고 725는 5로, 그리고 726은 6으로 나누어떨어진다.

수학자들은 소수를 만드는 공식을 찾아내려고 부단히 노력했지만, 그러나 유감스럽게도 아직까지 단 한사람도 성공하지 못하였다. 그러나 부단한 노력으로 3이 자신과 1외에는 나누어 떨어지지 않듯 391581x 이 자신과 1외에는 나누어 지지 않는다는 사실을 발견하였다.

최고은기자 rhdms08@

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