아직까지 증명못한 골드바하 추측
아직까지 증명못한 골드바하 추측
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  • 승인 2010.12.16 16:37
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‘모든 자연수는 소수의 곱으로 나타낼 수 있으나 소수의 합으로는 나타낼 수 없다. 그러나 4 이상의 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.’

이것은 독일의 수학자인 골드바하가 추측한 유명한 ‘골드바하가 추측’이다. 최근에 컴퓨터의 발전으로 수학자들은 컴퓨터를 이용하여 4천 억 까지의 모든 짝수를 두 소수의 합으로 나타내었다고 한다. 그러나 이 골드바하의 추측은 무척이나 단순해 보이지만 유감스럽게도 250년의 세월이 자났음에도 불구하고 아직까지 증명되지 못하고 있다. 우리는 이런 것을 알 수 있다. 4=2+2 , 6=3+3 , 8=5+3 , 10=7+3 , 12=7+5 , 14=11+3 , ………

그렇다면 그보다 큰 모든 짝수는 모두 두 개의 소수로 표시할 수 있을까? 이 문제는 독일 수학자 골드바하(C.Goldbach, 1690 - 1764) 가 1742년 6월 7일 수학자 오일러에게 보낸 편지에서 제기한 것이라 하여 ‘골드바하의 추측’이라 일컫는다. 그 해 6월 30일 오일러는 회답편지에서 이 추측을 진짜일 수도 있으나, 자신도 증명할 수 없다고 했다. 현재 골드바하의 추측에 대한 일반적인 견해는 이러하다.

6보다 크거나 같은 모든 짝수는 모두 두 개의 홀수의 합으로 표시할 수 있으며, 9보다 크거나 같은 모든 홀수는 3개의 홀수의 합으로 표시할 수 있다. 실은, 뒤의 명제는 앞의 명제로부터 자연스럽게 얻을 수 있다. 보기에는 쉬워도 실상 증명하기에는 어려운, 수학에서의 유명한 난제가 바로 골드바하의 추측이다. 18세기와 19세기의 수학자들은 이 추측에 대하여 증명하지 못하였는데, 20세기에 들어서면서 비로소 접근하기 시작하였다.

1937년 러시아 수학자 유노그라또프 가 자신이 창조한 삼각의 합의 방법으로 어떠한 큰 홀 수는 모두 3개의 소수의 합으로 표시할 수 있다. 라고 증명하였다. 하지만 유노그라또프의 큰 홀수에 대한 요구는 엄청나게 커서 골드바하의 추측에서 요구하는 것과는 상당한 거리가 떨어져 있었다. 골드바하의 추측에 대한 직접적 증명이 어렵게 되자 사람들은 새로운 전술을 이용하였다. 먼저 짝수를 두 숫자의 합으로 여긴다. 만약 위 명제를 어떤 짝수든 소수인자가 a 이하인 숫자와 b이하인 숫자의 합으로 표시할 수 있다. 로 일반화시켜 생각해 보자.

그렇다면 a +b, 골드바하의 추측은 1+1을 증명하려 함이 성립된다. 20세기에 들어서면서부터 일부 수학자들이 18=9+9, 5=2+3, 6=1+5, 1+4 명제를 증명하였다. 1966년 중국 수학가 진경윤이 연구끝에 드디어 1+2를 증명하는데 성공하였다. 다시 말해 어떤 짝수이든 한 개의 소수와 소수인자가 두 개 이하인 숫자의 합 이것은 이 면에서의 가장 걸출한 성과이다. 그 외에도 아직까지 증명되지 못한 문제들이 부지기수이지만 몇 개만 예를 들어 보자.

p와 p+2가 모두 소수일 때, 이 둘을 쌍둥이 소수라고 한다. 예를 들어, (3,5) (11,13) (17,19) (29,31)와 같은 수를 말한다. 쌍둥이 소수가 무한히 많을 것이라고 예상하지만, 아무도 증명하지 못했다.

또 x가 1 보다 큰 실수일 때 1 + 1/2x + 1/3x + 1/4x + ..... 의 값은 모든 소수 p 에 대한 (1-p-x)-1 들의 무한곱이 된다는 것을 오일러가 알아내어 이것을 오일러의 곱이라고 부르는데, 여기서 실수 x 를 복소수 z 로 바꾼 함수를 처음 연구한 사람이 바로 리만(Riemann) 이었다. 그래서 이 함수 zeta(z)=1 + 1/2z + 1/3z + 1/4z + ..... 를 리만의 제타 함수라고 부르게 되었다. 이 리만 제타함수가 언제 함수값 0 을 갖는지에 관해 연구를 하게 되었는데 실수부가 1 이상인 복소수 z 에 대해서는 리만 제타 함수값이 0 이 되지 않고 실수부가 0 이하인 복소수에 대해서는 z=-2,-4,...,-2n,.. 에서만 리만 제타 함수가 0 이 된다.

그런데 실수부가 0 보다 크고 1 보다 작은 복소수 z 에 대해서는 이 리만 제타 함수가 0 이 되는 점이 무한히 많이 있다는 것을 알게 되었다. 이때 리만 제타함수값이 0 이 되는 복소수의 실수부가 모두 1/2 일지도 모른다는 생각을 하게 되었는데 이것을 두고 리만 제타함수에 관한 리만의 가설이라고 하며 이것 역시 증명되지 못했다

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