디오판토스 방정식
디오판토스 방정식
  • 김은희
  • 승인 2010.11.25 15:40
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기원후 3세기 후반 알렉산드리아에서 태어나 대수학의 아버지라고 불리웠던, 알렉산드리아의 디오판토스(Diophantus)는 고대 그리스의 수학자이다. 그의 업적은 정수를 계수로 가지는 방정식인 디오판토스 방정식에 대한 연구로 유명하다. 흥미로운 것은, 1637년에 피에르 드 페르마는 디오판토스가 저술한 산수론(Arithmetica)를 읽다가 유명한 페르마의 마지막 정리를 그 책의 여백에 적어 놓았다고 한다. 디오판토스가 정확히 언제 태어나고 언제 죽었는지는 분명하지는 않지만, 그가 죽었을 때의 그의 나이는 정확히 알 수 있다. 그것의 단초가 되는 이야기가 그의 묘비에 쓰여 있기 때문이다. 디오판토스는 자신의 묘비에 다음과 같이 새겨놓았다고 한다.

“디오판토스는 자신의 일생의 을 어린이로 지냈고, 은 젊은이로 살았으며, 은 미혼으로 살았다. 결혼한 뒤 5년 만에 아들을 낳았는데, 그 아들은 그의 아버지보다 5년 먼저 죽었다. 그 때 죽은 아들의 나이는 아버지 나이의 이었다.”

대수학의 아버지라고 불리며, 그가 저술했던 유명한 책은 산수론(Arithmetica)이란 책이다. 그가 만든 산수론은 총 13권이라고 알려져 있는데 아깝게도 그 중 6권만이 현재까지 남아 있다. 그의 산수론은 아라비아어로 번역되어 아라비아의 많은 학자들에게 영향을 끼쳤다고 한다. 그리고 후에는 라틴어로 번역되어 중세 말기에 유럽으로 전파되었으며 대수학 발달에 큰 공헌을 했다. 이 책에는 주로 1차부터 3차까지의 정방정식과 부정방정식의 문제와 해법이 다루어져 있다. 특히, 해법의 부정해석을 지금도 디오판토스의 해석이라고 불린다. 그는 이 책에서 마이너스(-) ·미지량, 상등,·거듭제곱 등의 기호를 조직적으로 만들어 사용했다.

그의 저서 중 ‘주어진 제곱수를 2개의 제곱수로 나누어라’라는 문제는 뒤에 페르마에게 영향을 끼쳐, 유명한 페르마의 정리가 되었다고 한다. 그리고 그를 존경했던 한 사람이 대수적인 수수께끼를 만들어 그의 일생을 설명했기 때문에 그가 살았던 시대는 알려져 있다고도 한다.



고대 그리스의 대수 문제에 관하여 가장 훌륭한 정보를 제공하는 것은 팔라틴 선집(Palatine Anthology) 또는 그리스 선집(Greek Anthology)이라고 불리는 책이다. 이 책에는 46개의 문제가 수사적으로 설명되어 있다. 이 책은 A. D. 500년경에 그리스의 저명한 문법학자인 메트로도루스(Metrodorus)가 편집하였는데, 이 책에 수록되어 있는 대부분의 문제는 훨씬 오래 전부터 있었던 것으로 알려져 있다. 대부분의 문제들은 플라톤이 머리를 식히기 위하여 생각했던 문제들이라고도 알려져 있다. 이 책에 있는 문제 중에도 디오판투스의 묘비문제가 실려져 있다.

디오판토스의 묘비는 그의 일생을 요약하려는 목적이 있었던 것으로 보인다. 그리고 그의 묘비에 쓰인 내용대로 라면 그는 몇 살에 죽었을까? 하는 문제는 그리스 선집에 덤으로 얻는 문제이기도 하다.

지금은 중학생들도 쉽게 풀 수 있는 문제이지만, 방정식을 이해하지 못한 사람들에게는 아직도 그리 만만하지 않는 문제이다. 디오판투스(Diophantus)의 묘비문제를 실제로 풀어 보자.

디오판투스의 일생동안의 나이를 라고 하자. 일생의 을 어린이로 지냈으니 그 년수는 이고 을 젊은이로 살았으니 그 년수는 이며, 을미혼으로 살았으니 그 년수는 이며, 결혼 5년 만에 아들을 낳았는데, 그때 아들의 나이가 한 살이므로 그 차이는 4이다. 아들은 아버지의 나이의을 살았으니 그 년수는 이며 아버지보다 5년을 먼저 죽었으니 그 차이는 5이다. 이것을 다 합하면 그의 나이가 된다. 따라서 + + + 4 + + 5 = 이다. 이 식을 풀면 = 84이다.

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