케플러는 화성의 궤도를 직접 관측해 본 결과 원운동을 주장한 티코 브라헤의 관측 결과와는 차이가 있음을 발견하고, 그 당시까지의 정설인 ‘행성은 원 궤도를 그린다.’는 것을 의심하게 되었다. 그래서 원과 비슷한 여러 가지 곡선의 수치와 관측 결과를 비교하였는데, 그러기 위해서는 천문학적인 숫자의 계산을 많이 해야 했다.
지금처럼 컴퓨터가 없었던 시대에 그는 모든 것을 손으로만 그 계산을 몇 년에 걸쳐서 해냈다. 이와 같이 엄청난 계선 끝에 그가 발견한 세 가지 법칙이다.
제1법칙은 행성의 궤도는 타원이며, 태양은 그 한 초점 위치에 있다. 제2법칙은 행성과 태양을 잇는 선분이 동일한 시간에 그리는 넓이는 항상 일정하다. 이 법칙에 의하면 행성은 태양에 가까울수록 빠르게 운행하고 태양으로부터 멀리 떨어져 있을수록 더 느리게 운행한다. 그리고 제3법칙은 행성이 태양의 주위를 일주하는 시간의 제곱은 태양으로부터 행성까지의 세제곱에 비례한다는 사실이다.
원뿔을 그 꼭짓점을 지나지 않는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 평면곡선의 총칭으로, 원추곡선이라고도 하는데 원뿔의 축에 대한 평면의 기울기가 모선의 기울기에 비하여 큰가, 작은가, 같은가에 따라서 각각 타원, 포물선, 쌍곡선이 된다. 다시 말하면, 원뿔을 자르면 나타나는 단면으로는 그 위치에 다라 수직으로 자르면 원이 되고 비스듬히 자르면 타원이 나온다. 그리고 수직으로 자르면 포물선이나 쌍곡선이 나오고, 그러나 이러한 이론들은 실생활의 응용이 없었고, 비로소 17세기에 지난 후에야 해석기하학의 발전함에 따라 새로운 사실들이 더 밝혀져 파라볼라 안테나와 자동차 헤드라이트 등을 만드는 실생활의 원리로 이용되고 있다. 이렇게 나온 곡선들을 원뿔곡선이라 하는데, 원뿔곡선은 과학의 발달에도 크게 공헌하였고, 이런 이론이 나온 것은 이미 기원전 4세기경이었다. 원추곡선에 대하여 타원(ellipse), 포물선(parabola), 쌍곡선(hyperbola)라는 이름을 최초로 사용한 사람은 아폴로니우스이며, 초기 피타고라스학파가 면적에 사용한 용어로부터 따온 것이다. 피타고라스학파는 한 선분 위에 직사각형의 한 변의 끝과 선분의 한 끝이 일치하도록 할 때, 갖다 댄 직사각형의 변의 길이가 선분의 길이보다 짧은 경우, 일치하는 경우, 긴 경우에 따라 그리스어로 ellipis(부족하다), parabole(일치한다), hyperbole(초과한다)라고 하였다.
해석기하학에서 이차방정식으로 나타내는 곡선의 총칭으로, 계수가 취하는 값에 따라 몇 개의 전형적인 도형이 되는데, 이들은 모두 원뿔의 단면이 되며, 이 때문에 이차곡선을 원뿔곡선이라고도 한다. 타원, 쌍곡선(및 이들의 특수한 것)의 유심이차곡선과 포물선이나 직선 등의 무심이차곡선으로 나뉜다. 두 변수 , 의 이차방정식은 ＋2＋＋2＋2＋=0으로 표현된다. 역사적인 관습에서, 이차곡선의 이론은 평면 해석기하학의 주요한 대상이 되어왔다. 앞에서 , ,…, 는 임의의 실수이며, , , 중 적어도 하나는 0이 아닌 것으로 한다. 이차곡선은 계수가 취하는 값에 따라 몇 개의 전형적인 도형이 되는데, 이들은 모두 원뿔의 단면이 되며, 이 때문에 이차곡선을 원뿔곡선이라고도 한다. 즉, －≠0이면, 이차곡선 등 대칭의 중심을 갖는 타원, 쌍곡선 및 이들의 특수한 것)을 얻는다. 이것을 유심이차곡선이라고 한다. 또, －=0이면, 이차곡선 중 대칭의 중심이 유한의 장소에 없든가, 또는 부정의 경우로서, 포물선이나 직선 등이 된다. 이것을 무심이차곡선)이라고 한다. 실계수의 이차곡선은 그 계수에 의해서 다음과 같이 분류된다.
① －＞0일 때 : 곡선의 방정식은 P＋Q=R이며, R＞0이면 타원 또는 원, R=0이면 두 허직선 또는 점타원 또는 점원, R＜0이면 허타원 또는 허원이다.
② －＜0일 때 : 곡선의 방정식은 P－Q=R이며 R≠0이면 쌍곡선, R=0이면 서로 만나는 두 직선이 된다.
③ －=0일 때 : 곡선의 방정식은 P－Q이며, P≠0이면 포물선, P=0이면 평행한 실 또는 허인 두 직선, 또는 서로 겹치는 두 직선이 된다.
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