(nie 수학이야기) 상상의 수 상상하기
(nie 수학이야기) 상상의 수 상상하기
  • 김정훈
  • 승인 2010.09.30 16:55
  • 댓글 0
이 기사를 공유합니다

백과사전에 보면 허수를 다음과 같이 설명하였다. “실계수의 이차방정식 ax²+bx+c=0은 그 판별식이 음이 아닌 때에 한하여, 실수의 범위에서 근(해)을 가진다. 판별식이 음이라면 실계수의 이차방정식은 실근을 가지지 않는다. 예를 들어 방정식 x²+1=0 의 해 x는 제곱이 -1, 즉 음수가 된다. 이러한 x는 형식적으로는 ±√-1로 표시할 수 있고, 이것은 실수가 아니다. 그래서 새로운 수 i =√(-1)를 도입하여 이것을 허수단위라고 한다. 또 실수 a, b와 허수단위 i로서 a+bi인 형식으로 나타내지는 수를 일반적으로 복소수라고 한다. 계산할 때는 i를 마치 문자와 같이 보고 계산하여 이 허수가 나타나면 그것을 제곱해서 -1로 바꾸는 규칙에 따라서 계산한다. a+bi에서, b=0일 때, 이것은 실수 a와 동일하다. 한편, a+bi에서 a=0일 때, 즉 허수부만 남은 경우는 순허수라고 한다.”



역사적으로 보면, 복소수는 2차방정식의 해를 구하면서 처음 출현했다. 사람들은 허수는 실제로 존재하지 않는 수라 생각하여 허수라 이름 붙였다. 허수에 대한 초기 연구자들은 이 새로운 수의 미덥지 않는 모얀 때문에 매우 골치를 앓았고, 또 이에 대해서 온갖 비방을 쏟아냈다. 그럼에도 불구하고 몇몇 용기 있는 수학자들은 허수로도 각종 연산을 했고, 또 별다른 문제가 없어 보였다. 이를테면, 가우스, 아르강, 베셀 과 같은 수학자들이 거의 200년 전에 이미 허수에 대한 의혹을 말끔히 해결하였음에도 불구하고, 오늘날 까지도 허수에 대한 의구심을 갖는 사람들이 있다. 사실 우리는 제곱해서 음수가 되는 수를 허수라고 부르고 있다.



허수는 오늘날 응용수학에서 공학, 물리학에 이르기까지 과학의 거의 모든 영역에서 매우 중요하게 사용된다. 게다가 실수에 적용되는 모든 연산법칙이 그대로 성립된다. 여기서 잠깐 고개를 돌려서 실수라는 것이 사람들의 고정관념과는 달리 물리적인 실제에 직접 대응하지도 않음을 짚고 넘어가자. 이를테면, √2에 대응하는 물리적인 실제가 존재하는가? 정사각형의 한 변이 1인 길이에 대한 대각선의 길이의 비라는 정의는 순전히 이론적인 유클리드 기하의 일부로 물리적으로는 불가능한 무한히 정밀한 양을 상정한다. 따라서 이인슈타인 이래로 물리학에 이용되는 기하는 유클리드의 기하가 아니며, 이에 따르면 정사각형의 크기를 충분히 크게 만들면, 그 대각선의 길이는 한 변이 √2배가 아님을 알 수 있다. 한 발 양보하여, 거시물리학에서는 유클리드 기하체계를 따른다 해도 양자이론 이후 원자 등을 가루는 세계에서는 유클리드 체계가 적용되지 않을 뿐만 아니라, 심지어 거의 무의미하기까지 하다. 어떤 공간을 플랑크상수의 길이인 1.616*10^-32 이하로 분할할 수 있는가 혹은 시간을 프랑크 시인 10^-43초 이하로 나눌 수 있는가? 등이 논점이 되는 세상이다. 이 질문에 대한 대답은 ‘아니오’ 이다. 마찬가지로 2의 제곱근은 초월수인 e나 파이(π)와 같이 물리적인 의미에서는 실재하지 않는다. 이 수들은 모두 수학자들의 관념이 만들어낸 허구이다. 실재의 세계와는 근사값으로 대응하는 추상적인 수학적 관념일 뿐이다.



사실 수학에서는 새로운 종류의 수가 도입될 때마다 매우 의아하다는 식의 인사를 받아왔다. 음수가 처음 도입될 때에도 도저히 불가능하다고 간주되었다. 도대체 -3개의 사과가 무엇을 말하는가? 물론 -3도 실재하는 수가 아니다. 그러나 지금에 이르러서는 기온이 영하라든가 은행잔고가 적자라고 이야기 하는 것이 지극히 온당하게 받아들여지고 엘리베이터가 지하1층을 -1로 쓴다고 의아해 하는 사람은 없다. 피타고라스가 유리수로 나타내지지 않는 수를 처음 발견했을 때도 대경실색하는 분위기가 지배적이었다. 무리수에 사용된 단어가 말하듯 무리란 ‘불합리한’ 이란 뜻이다. 심지어 분수가 처음 도입되었을 때도 역시 4/5명이라는 표현이 도대체 무엇을 의미하느냐는 식의 의문이 제기되었다. 지금도 여전히 한 가족의 아이가 평균 1,3 명이라는 표현은 우스꽝스럽게 여겨진다.



<전북대 수학통계정보과학부 교수>

댓글삭제
삭제한 댓글은 다시 복구할 수 없습니다.
그래도 삭제하시겠습니까?
댓글 0
댓글쓰기
계정을 선택하시면 로그인·계정인증을 통해
댓글을 남기실 수 있습니다.