실제로, 이 문제는 임의 각을 자와 컴퍼스만을 가지고 3등분하는 문제와, 주어진 원과 같은 면적을 깆는 정사각형의 문제와 더불어, 그리스 시대의 3난제로 유명하다. 물론 직각의 3등분이나 임의각의 이등분은 자와 컴퍼스를 가지고 중학생도 해 낼 수 있다. 또한 이를 계속 반복하면 임의 각을 4등분 할 수도 있고, 이미 그리스 시대에 선분을 2등분하는 방법을 알고 있었기 때문에 선분은 얼마든지 같은 간격으로 나눌 수가 있다. 이런 3대 작도 불능 문제는 이해하기도 쉽고, 또 금방 될 것 같은데 사실은 불가능하다는 것이다. 물론 자와 컴퍼스만으로는 말이다. 문제는 “이런 문제를 만족하는 해답이 존재하는가?” 에 대한 문제이고 과연 존재한다면 이른바 기하학적인 방법으로 그릴 수 있는가? 여기에 대한 해답은 경험적으로는 알 수 있었지만, 그것들이 실제로 불가능임을 증명한 것은 그로부터 2000년 이상 지난 19세기에 이르러서이다. 참으로 쉽고도 어려운 숙제가 풀어진 것은 너무나 긴 시간이 흘러서 전혀 엉뚱한 분야에서 그 풀이를 찾을 수가 있었던 것이다. 이 문제는 프랑스의 수학자인 데카르트가 도형의 문제를 수식으로 바꾼 이른바, 해석기하학의 방정식이 만들어진 후에 그 해답을 완첼이라는 수학자에 의해서 구명된 것이다.
19세기의 프랑스의 수학자였던 완첼(P. Wantzel, 1814 ~ 1848)은 1837년에 기하학적인 문제를 대수적인 방정식의 문제로 바꾸는데 성공하여 다음과 같은 2개의 정리를 만들었다.
“유리수를 계수로 갖는 3차방정식이 유리수 범위에서 인수분해 되면 3차방정식은 적어도 한 개의 유리근을 갖는다.” 그리고 더 나아가
“컴퍼스와 자를 가지고 작도 가능한 실수는 대수적인 수이다. 여기서 대수적인 수란 유리수를 계수로 갖는 방정식의 근이 되는 수를 말한다.”
수학자 완첼이 만든 위의 정리들을 요약해서 설명하면, “컴퍼스와 자를 가지고 작도 가능한 실수는 대수적인 수이지만, 작도 불가능한 수는 대수적이 아닌 수, 이를테면, 삼각함수와 같은 초월수나, 원주율에서 나온 π, 그리고 무한급수에서 만들어진 로그 함수의 밑이 되는 지수 e, 등”이라는 것이다. 결국 3대 작도 불가능의 문제가 해결된 것은 19세기에 나온 대수방정식 이론의 도움을 받아서 증명이 가능했다.
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