그리스 연안에 있는 델로스라는 섬은 그리스 신화에 나오는 아폴로와 아르테미스의 탄생지로 유명한 곳이다. 신화에 의하면, 기원전 500년경에 아테네의 전염병이 창궐할 때, 아테네 사람들은 이 난국을 헤쳐 나가기 위하여 어떻게 해야 할지 델로스에 있는 아폴로 신전에서 신에게 도움을 청했다고 한다. 그러자 아폴로의 대답은 “자와 컴퍼스를 가지고 아폴로 신전의 제단을 정확히 두 배의 크기로 만들어 바치면 전염병이 사라진다”는 것이다. 너무도 쉬운 아폴로의 부탁이어서 제단을 재어보니 제단은 한 변의 길이가 1큐빗인 정육면체였다. 아테네의 목수들은 즉시 자와 컴퍼스를 가지고 급히 서둘러 제단의 한 변의 길이가 2큐빗인 제단을 만들어 바쳤으나, 전염병이 그치지 않았다. 다시 아폴로 신전에서 아테네 사람들은 신탁을 청취했는데 “너희들이 만들어 바친 신전은 원래의 제단의 2배가 아니고 8배”라는 것이다. 그래서 원래의 신전과 똑같은 신전을 만들어 두 개를 잇는 시도를 하였으나 새로 만든 제단은 정육면체가 아니어서 아폴로의 노여움은 계속되었다는 것이다. 아폴로 신의 뜻을 만족시키려면 한 변의 길이를 로 해야만 된다. 당시에 이미 피타고라스의 정리가 있었기 때문에 한 변이 1인 정사각형의 빗변은임을 알았고, 당시의 그리스의 수학자들은 자와 컴퍼스를 가지고 , 등의 길이를 작도할 수 있는 실력이 있었다. 심지어 까지도 작도할 수 있는 고도의 능력도 있었다. 그리스의 수학자들은 아폴로의 노여움을 해결할 일념으로 많은 노력을 의 작도에 힘을 쏟았다. 그러나 아무도 한변이 가 되도록 만들어 내지 못했다.

실제로, 이 문제는 임의 각을 자와 컴퍼스만을 가지고 3등분하는 문제와, 주어진 원과 같은 면적을 깆는 정사각형의 문제와 더불어, 그리스 시대의 3난제로 유명하다. 물론 직각의 3등분이나 임의각의 이등분은 자와 컴퍼스를 가지고 중학생도 해 낼 수 있다. 또한 이를 계속 반복하면 임의 각을 4등분 할 수도 있고, 이미 그리스 시대에 선분을 2등분하는 방법을 알고 있었기 때문에 선분은 얼마든지 같은 간격으로 나눌 수가 있다. 이런 3대 작도 불능 문제는 이해하기도 쉽고, 또 금방 될 것 같은데 사실은 불가능하다는 것이다. 물론 자와 컴퍼스만으로는 말이다. 문제는 “이런 문제를 만족하는 해답이 존재하는가?” 에 대한 문제이고 과연 존재한다면 이른바 기하학적인 방법으로 그릴 수 있는가? 여기에 대한 해답은 경험적으로는 알 수 있었지만, 그것들이 실제로 불가능임을 증명한 것은 그로부터 2000년 이상 지난 19세기에 이르러서이다. 참으로 쉽고도 어려운 숙제가 풀어진 것은 너무나 긴 시간이 흘러서 전혀 엉뚱한 분야에서 그 풀이를 찾을 수가 있었던 것이다. 이 문제는 프랑스의 수학자인 데카르트가 도형의 문제를 수식으로 바꾼 이른바, 해석기하학의 방정식이 만들어진 후에 그 해답을 완첼이라는 수학자에 의해서 구명된 것이다.

19세기의 프랑스의 수학자였던 완첼(P. Wantzel, 1814 ~ 1848)은 1837년에 기하학적인 문제를 대수적인 방정식의 문제로 바꾸는데 성공하여 다음과 같은 2개의 정리를 만들었다.

“유리수를 계수로 갖는 3차방정식이 유리수 범위에서 인수분해 되면 3차방정식은 적어도 한 개의 유리근을 갖는다.” 그리고 더 나아가

“컴퍼스와 자를 가지고 작도 가능한 실수는 대수적인 수이다. 여기서 대수적인 수란 유리수를 계수로 갖는 방정식의 근이 되는 수를 말한다.”

수학자 완첼이 만든 위의 정리들을 요약해서 설명하면, “컴퍼스와 자를 가지고 작도 가능한 실수는 대수적인 수이지만, 작도 불가능한 수는 대수적이 아닌 수, 이를테면, 삼각함수와 같은 초월수나, 원주율에서 나온 π, 그리고 무한급수에서 만들어진 로그 함수의 밑이 되는 지수 e, 등”이라는 것이다. 결국 3대 작도 불가능의 문제가 해결된 것은 19세기에 나온 대수방정식 이론의 도움을 받아서 증명이 가능했다.