파이란 원의 둘레인 원주의 지름에 대한 비율인 원주율은 말한다. 실제로, 모든 원은 닮은 도형이므로 원의 둘레의 길이인 원주는 그 원의 지름에 비례한다. 이때 비례상수, 즉, (원둘레/지름)=π 를 원주율이라 한다. 옛날에는 이 원주율의 값을 3으로 표기한 기록이 나온다.
구약성경 열왕기상 7장 23절과 역대하 4장2절에 보면 '그 직경이 십규빗이요, 그 모양이 둥글고 ... 주위는 30규빗 줄을 두를 만하며' 라는 구절이 있는데, 이것은 지름이 10인 원의 둘레가 지름의 3배인 30이라는 것으로서 원주율을 3으로 사용하고 있었다는 것을 알 수 있다.
그 유명한 탈무드에도 ‘원둘레가 손너비 셋이면 지름은 손너비 하나’ 라는 구절이 있는데 이것은 지름이 10인 원의 둘레가 지름의 3배인 30 이라는 것으로서 원주율을 3으로 사용하고 있었다는 것을 알 수 있다. 그러던 중 원주율의 근사값이 소수점 아래 둘째자리 까지 정확하게 구한 사람이 있었는데 그가 바로 기원전 3세기경에 학자인 아르키메데스이다.
그는 원주율을 구하기 위해서 원의 둘레의 길이를 정확히 구하기만 하면 되는데 문제는 원의 곡선으로 정확한 길이의 측정이 어려워서 원의 내접하는 정다각형과 외접하는 정다각형을 이용하여 원의 둘레의 길이는 원의 내접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 크고 원의 외접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 작다는 사실에 착안 하였다. 그래서 아르키메데스는 원에 내접하는 정육각형과 원의 외접하는 정육각형을 그렸고, 변의 개수를 두배로 늘려서 원에 내접하는 정 12각형, 정 24각형, 정48각형 그리고 정 96각형을 그렸고 외접하는 정다각형도 같은 방법으로 그렸다.
이 사실로부터 원의 내접하는 정96각형의 둘레의 길이인 3+10/71 과 원에 외접하는 정96각형의 둘레의 길이인 3+1/7 사이에 원둘레가 있다는 사실을 알아냈다.
따라서 원주율은 3.13805...〈 원주율(π)〈 3.142857...을 얻어냈다. 이것은 원주율은 3.14, 즉 소수점 아래 둘째자리까지 정확히 구해낸 것이고, 원둘레는 원의 지름의 약 3.14배라는 사실이다.
고대의 계산술을 가지고 이렇게 까지 정확하게 계산한 것은 실로 대단한 것이다. 그러나 소수점 아래 둘째자리까지 맞추었다고 하는 것보다도 더 주복해야 할 사실은 다각형 법이라고 불리는 아르키메데스의 이 방법을 사용하면 계산이 복잡하기는 하지만 얼마든지 원하는 만큼 정확하게 원주율의 값을 계산해낼 수 있다는 것이다. 즉, 정다각형의 변의 개수를 2배씩 계속 늘려갈 수록 점점 더 정확한 원주율의 값을 얻을 수 있다. 실제로 16세기 독일의 수학자인 루돌프교수는 원둘레를 계속 2등분하여 결국 원의 내접하는 4611686018427387094각형과 외접하는 다가형의 원둘레를 찾아내어 원주율을 3.141592635897932384263438327950288과 같은 소수점 아래 35자리까지 계산하였다. 원의 내접과 외접 정다각형을 이용하여 원주율을 이만큼 계산하는 것은 정말로 대단한 것이다. 루돌프 교수는 원주율의 소수점 아래 35자리까지 계산하는데 그의 일생을 바쳤고, 죽을 때에도 자신이 계산한 원주율의 값을 묘비에 새겨 달라고 유언을 하였다고 한다.
실제로, 원주율은 무한급수의 합으로 계산하는 방법이 보편화 되었고 컴퓨터의 발전으로 우리나라의 수학 대사전에는 이 소수점 아래 1000자리까지 계산되어 있다. 그러나 아무리 소수점아래를 계속 구해 나가도 정확한 원주율은 구할 수 없다. 왜냐하면 원주율의 값은 순환하지 않는 무한소수 즉, 무리수이기 때문이다. 이처럼 순환하지도 않고 소수점 아래 끊임없이 계속되는 수이고, 그러면서도 일정한 수인 원주율 3.141592653589793239,,, 을 π 로 나타내기 시작한 것은 18세기의 프랑스의 수학자인 오일러에 의해서이다. 오일러는 둘레를 뜻하는 그리스어의 πρτχετετα 첫 번째 글자를 따서 원주율을 π로 나타내었는데 이 표시 방법이 지금도 보편화해서 사용하고 있다.
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