정다면체는 오직 5개뿐
정다면체는 오직 5개뿐
  • 김장천
  • 승인 2010.06.10 15:15
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정다각형이란 모든 변의 길이와 모든 각의 크기가 다 같은 다각형을 말한다. 그렇다면 정 다각형은 몇 개나 존재할까? 그 답은 ‘무수히 많다’ 이다. 예를 들면 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형, 정칠각형 등 그리기는 힘들지라도 무수히 많은 정다각형이 있다. 그런데 한 꼭짓점에 모인 합동인 정다각형의 개수가 모두 같고 면과 면이 만나는 모서리의 각의 크기가 모두 같은 3차원 입체인 정다면체는 오직 5개뿐이라는 사실이다.

우리에게 가장 익숙한 정다면체는 주사위 모양인 정육면체이다. 또 다른 예는 4면이 모두 합동인 정삼각형으로 된 정사면체가 있다. 그런데 정다각형의 경우처럼 정다면체에서는 그 예를 푸짐하게 계속 제공할 수 없다. 왜냐하면 정다면체는 일찍이 그리스 사람들이 발견하였듯이 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 그리고 정이십면체 이렇게 5가지뿐이기 때문이다.

고대 이집트 사람들은 정사면체, 정육면체, 정팔면체라고 하는 세 종류의 정다면체를 알고 있었다. 이집트에서 오랜 유학생활을 했던 피타고라스는 이 세 가지 정다면체에 대해서 배웠을 것이다. 그런데 피타고라스학파는 ‘정다면체는 오직 정사면체, 정육면체, 정팔면체만 존재하는가?’ 라는 문제를 생각하였는데, 연구 끝에 정십이면체, 정이십면체의 존재사실을 발견하였다. 그리고 더 나아가 ‘정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 의 5가지뿐이다.’ 라는 사실을 증명하였다. 그들은 이것을 어떻게 증명하였을까?

오늘의 수학이야기에서는 피타고라스학파가 증명한 정다면체는 오직 5가지뿐이라는 사실을 설명하고자 한다. 먼저, 정삼각형을 면으로 하는 정다면체를 생각해보자.

한 꼭짓점에서 두 개의 정삼각형을 모으면 입체가 되지 아니하므로 최소한 3개의 정삼각형이 필요하다. 이렇게 3개의 정삼각형을 모아 놓으면 밑면도 정삼각형이 되므로 밑면에 정삼각형을 하나 덧붙이면 정삼각형 4개로 이루어진 정사면체가 된다. 다음으로 정삼각형 4개를 한 꼭지점에 모으면 피라미드 모양이 된다. 똑같은 모양을 하나 더 만들어 거꾸로 아래쪽에 붙이면 정삼각형 8개로 만들어진 정팔면체가 된다.

이번에는 각 꼭지점에 다섯 개의 정삼각형을 모으고 정사면체의 각 꼭짓점 4개에 똑같은 다섯 개씩으로 된 정삼각형을 모으면 정삼각형 20개로 된 정이십면체가 된다. 만일 하나를 더하여서 한 꼭지점에 6개의 정삼각형을 모으면 어떻게 될까? 정삼각형의 한 내각은 60도 이므로 6개를 모으면 360도가 되어 정육각형의 평면이 되고 만다. 따라서 정삼각형으로 만들 수 있는 정다면체는 정사면체, 정팔면체, 정이십면체 이 3가지뿐이다.

이제 정사각형을 면으로 하는 정다각형을 생각해 보자. 한 꼭짓점에 정사각형 2개를 모으면 역시 입체가 안 되므로, 한 꼭지점에 정사각형 3개를 모아야 정육면체가 나온다. 만일 정사각형을 하나 더 보태어 한 꼭지점에 4개의 겅사각형을 모으면 정사가형의 한 내각을 90도 이므로 4개를 모으면 360도가 되어 평면을 이루기 때문에 정다면체가 될 수 없다. 그러므로 정사가형을 모아 만들 수 있는 정다면체는 오직 정육면체 하나뿐이다. 마찬가지로 정오각형을 면으로 하는 정다면체를 생각해보면 한 꼭지점에 정오각형 3개를 모으면, 정십이면체가 된다. 그러나 한 꼭지점에 정오각형을 4개 모으면, 정오각형의 한 각이 108도이므로 그 꼭짓점의 내각이 432도가 되어 볼록한 입체가 되지 않는다.

각 면이 정육각형인 정다각형이 있을까? 정육각형은 한 내각이 120도이므로 한 꼭지점에 3개만 모아도 360도가 되어 입체가 되지 않는다. 이것은 정육각형을 면으로 하는 정다면체가 없다는 것을 말해준다. 마찬가지 이유로 정칠각형, 정팔각형, 정구각형 등으로 하는 정다면체도 없다는 것을 알 수 있다.

피타고라스학파는 이상과 같은 방법으로 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지 종류의 정다면체뿐임을 증명하였다. 정다면체는 모양도 아름답거니와 희소성 때문에 신비주의적인 색채를 띠고 있었다. 그래서 그리스 사람들은 정다면체로 우주를 설명하였다. 그들은 우주가 불, 흙, 공기, 물 네 가지 원소로 이루어졌다고 믿었는데, 이 네 원소는 모두 정다면체의 모양을 하고 있다고 생각하였다. 즉, 불은 정사면체, 흙은 정육면체, 공기는 정팔면체, 물은 정십이면체이며, 이 네 원소는 모두 정이십면체인 우주 속에 있다고 생각했다.

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