3대 작도 문제
3대 작도 문제
  • 김장천
  • 승인 2010.04.22 14:50
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지금부터 약 2500년 전에 정치와 문화가 매우 발전하였던 그리스의 수도 아테네의 시민들은 생활을 위한 일은 노예들이 맡아서 하였으므로, 자신들은 정치와 학문에만 열중하게 되었다. 이런 분위기에서 교양과 흥미를 통한 학문의 수요가 많아지자 소피스트라는 직업이 생겼다.

그들은 새로운 문제를 만들어 시간을 소일하게 하는 직업으로 이들이 특히 열심히 연구한 것은 자와 컴퍼스를 가지고 그리는 이른바 3대 작도 불능의 문제였다. 신기하게도 직각 의 3등분은 쉽게 되었고, 주어진 정 사각형의 2배를 갖는 정사각형은 쉽게 그릴 수 있었으며, 주어진 다각형과 같은 넓이를 가진 정사각형은 쉽게 자와 컴퍼스만을 가지고 그릴 수 있었으나, 임의 각을 3등분하는 문제와 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체를 그리는 문제와 반지름이 1인 원의 넓이와 같은 정사각형을 자와 컴퍼스를 가지고 그릴 수 없더라는 것이다.

실제로, 우리들은 중학생의 실력만 가지고 있으면 직각의 3등분이라든지 한 변이 1인 정사각형의 2배가 되는 정사각형은 피타고라스의 정리를 이용하여 쉽게 그릴 수 있다. 그리고 조금만 더 응용하면 임의의 다각형의 면적과 같은 정사각형은 그릴 수 있으나, 주어진 원의 넓이와 같은 정사각형은 존재하지만 그릴 수 없다. 사람들은 이 문제를 가리켜 임의각의 3등분 문제, 입방배적문제, 원적문제라고 이름을 붙였다.

이런 3대 작도 불능 문제는 이해하기도 쉽고, 또 금방 될 것 같은데 사실은 불가능하다는 것이다. 물론 자와 컴퍼스만으로는 말이다. 문제는 이런 문제를 만족하는 해답이 존재하는가? 에 대한 문제이고 과연 존재한다면 이른바 기하학적인 방법으로 그릴 수 있는가? 여기에 대한 해답은 경험적으로는 알 수 있었지만, 그것들이 실제로 불가능임을 증명한 것은 그로부터 2000년 이상 지난 19세기에 이르러서이다.

참으로 쉽고도 어려운 숙제가 풀어진 것은 너무나 긴 시간이 흘러서 전혀 엉뚱한 분야에서 그 풀이를 찾을 수가 있었던 것이다. 이 문제는 프랑스의 수학자인 데카르트가 도형의 문제를 수식으로 바꾼 이른바, 해석기하학이 만들어 지고 방정식이 만들어진 후에 해답을 완첼이라는 수학자에 의해서 구명된 것이다.

그러면 우리는 이 3대 작도 문제가 불가능하다는 것을 어떻게 증명했는지 살펴보기로 하자.

이것을 증명하기 위해서는 실수와 수직선위의 점과는 일대일 대응이라는 지식이 필요하다. 적당한 단위길이가 주어졌을 때 우리는 쉽게 자와 컴퍼스를 가지고 두 수의 합과 차를 그릴 수 있다. 이 말은 어떤 수의 임의의 배수도 작도 가능하다는 말이 된다. 또한 임의의 두 수의 곱과 나눔도 그릴 수 있다. 그리고 비례식을 이용하여 곱해서 2가되는 무리수도 작도 가능하다. 이런 작도문제를 19세기의 프랑스의 수학자였던 완첼(P. Wantzel, 1814 ~ 1848)은 1837년에 방정식의 문제로 바꾸는데 성공하여 다음과 같은 2개의 정리를 만들었다.

“유리수를 계수로 갖는 3차방정식의 해가 작도가능하면, 이 3차방정식은 유리수 범위에서 인수분해 된다. 다시 말해서 이 3차방정식은 적어도 한 개의 유리근을 갖는다.” 그리고 더 나아가

“컴퍼스와 자를 가지고 작도 가능한 실수는 대수적인 수이다. 여기서 대수적인 수란 유리수를 계수로 갖는 방정식의 근이 되는 수를 말한다.”

완첼이 만든 위의 정리들은 요약해서 설명하면, 컴퍼스와 자를 가지고 작도 가능한 실수는 대수적인 수이지만, 작도 불가능한 수는 대수적이 아닌 수, 이를테면, 삼각함수와 같은 초월수나, 원주율에서 나온 파이, 그리고 무한급수에서 만들어진 로그 함수의 밑이 되는 지수 등이라는 것이다. 결국 3대 작도 불가능의 문제가 해결된 것은 19세기에 나온 방정식 이론의 도움을 받아서 증명이 가능했다.

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