정오각형
정오각형
  • 김효정
  • 승인 2009.12.24 16:23
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펜타곤은 육, 해, 공군 3군의 업무를 포괄하는 미국 국방부 본부 건물이자 세계 최대의 오피스 빌딩이다. 버지니아주 워싱턴 근교 알링턴 지역의 포토맥 강 건너편에 있는 펜타곤은 오각형으로 된 세계최대의 오피스 건물이다. 원래 펜타곤이라는 말은 ‘오각형’이라는 뜻인데 그 건물의 형태 때문에 미국 국방성을 펜타곤이라고 부른다.

미국 국방성인 펜타곤은 다섯 개의 동심 오각형이며 열개의 바퀴모양의 통로들이 건물 전체를 이어주고 있다. 또한 지하를 제외하고는 오층으로 만들어져 있어 건물 높이가 건물의 수평면보다는 훨씬 작아서 건물이 거대하게 보이지 않는다.

별(star)이 주는 독특한 기하학을 깊이 살펴보는 것은 우리를 오각형의 원형의 핵심으로 더 가까이 다가가게 한다. 거기서 우리는 그 힘의 원천과 자연에 오각형이 나타나는 것의 비밀과 그것이 우리에게 미치는 심리적 효과를 발견할 수 있을 것이다.

오각형은 자신의 이미지를 끝없이 반복한다. 먼저 정 오각형의 꼭지점들을 연결하면 별의 모양이 되고 그 별의 내부를 보면 다시 새로운 오각형이 된다. 다시 오각형의 끝점을 연결하면 더 작은 별이 된다. 이런 일을 반복적으로 계속하면 ‘펜타그램’이라는 것을 만든다. 밤하늘에 보이는 별을 ‘☆’모양으로 하자고 처음 제안한 사람은 그리스의 수학자 피타고라스로 알려져 있다.

오각형 속에서 각 꼭지점을 연결하면 바로 별 모양이 나온다. 그런데 오각형 속의 별 모양을 자세히 보면 제일 작은 선에서부터 그 다음 길이의 선이 황금분할(1:1.618)로 되어 있고, 그 선은 또 그보다 긴 선과 황금 분할로 되어 있다는 것을 확인할 수 있다. 즉 가장 작은 선에서부터 가장 긴 선까지 차례로 황금 분할로 이루어져 있는 것이다.

가장 완벽한 모양 속에 가장 아름다운 비율로 선들이 그려진 것이다. 비록 우연하게 만들어진 모양일 수 있지만 ‘☆’모양은 완벽함과 아름다움을 함께 갖춘 모양이다. 황금분할이라고 하는 것은 가로 세로의 길이 비가 1:1618인 것으로 이때 물체가 가장 아름답게 보인다고 한다.

생명체의 이 매력적인 특징은 흥미롭게도 자기 자신을 영원히 더 작게 또는 크게 복제하는 펜타그램 으로서 기하학적 성질과 일치한다. 펜타그램 별은 자기 중앙의 정오각형 안에서 자신을 복제하면서 거꾸로 뒤집히는데, 그 중앙에도 정오각형이 있어서 그 속에 뒤집힌 별들이 계속 끝없이 나타나게 된다.

부분으로부터 전체가 자라나는 재생의 원리는 도처에서 발견된다. 잎 한 장 속의 잎맥은 나무 전체의 가지가 뻗어나가는 패턴을 보여주고 고사리와 같은 양치류는 잎의 작은 부분이 전체 잎과 그 식물 전체의 모양과 거의 닮았다. 부분 속의 전체라는 원리는 큰 나무의 가지로부터 작은 나무를 자라나게 하는 분제의 기본 원리이다.

나뭇잎이 잔가지 주위에 뻗어 있는 것과 똑같은 패턴으로 잔가지가 가지 주위에 뻗어 있고, 큰 가지 역시 똑같은 패턴으로 줄기에서 뻗어 나와 있다. 같은 방법으로 하면 생성되는 별과 오각형의 앞 두 변의 합은 새로운 도형의 한 변의 길이와 같다. 다시 처음으로 돌아가 가장 안쪽에 있는 정오각형의 변의 길이를 a, 그 다음에 생기는 별의 변의 길이를 b 라 하면 다음과 같은 수열이 만들어 진다.

a, a+b, 2a+b, 3a+2b, 5a+3b, 8a+5b, …이 때 , a=1, b=1를 대입하면 우리가 알고 있는 저 유명한 피보나치수열을 얻을 수 있다.1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

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