프랑스의 수학자 오일러는 1/n!의 무한항의 합으로써 계승급수를 오일러의 수 e 라고 표현했다. 이 급수의 항이 더 많이 더하면 더 할수록 e의 정확한 값에 더욱더 접근할 수 있다. 이 오일러의 수 e 에 대한 급수로부터 원하는 만큼 많은 자리까지 이 수에 대한 소수 전개를 얻을 수 있다. 중요한 것은 e의 근사값이 되는 n 번째 급수의 항은 언제나 예상할 수 있지만,(실제로 n 번째 급수의 항은 1/(n-1)!이다) e 의 소수 전개에서 n 번째 자리에 나타날 수는 전혀 예측 할 수 없다. 이런 점에서 e 는 유리수와는 다르다. 실제로 유리수는 적어도 어떤 점 이후에는 규칙적이고 예측 가능한 양식에 따라 반복되는 소수로 나타나는 특징이 있다. 예를 들면 1/3은 0.333333과 같다. 따라서 e 는 유리수가 아니며 이런 예측 가능하지 않는 소수의 자리수가 나타나는 수를 수학자들은 비 순환 무한소수라고 부르며 이런 수를 무리수라고 부른다. 피타고라스 학파의 수학자들은 이런 수에 의해 만물이 지배된다고 믿었으며 이런 수는 실직선위에 대응될 수 없다고 믿었다. 그런데 직각 삼각형위의 밑변이 1이고 높이가 1인 대각선을 컴퍼스로 수직선에 긋고 대각선을 계산해보니 1^2+1^2=x^2가 되어 x 는 루트2가 된다. 이 도형을 컴퍼스로 직선상에 긋고 보면 만나는 점이 루트2인 점이 된다.
이런 이론은 이미 기원전 4세기경에 발견되었고 증명했을 때 무리수를 대응하는 점을 찾을 수 없다는 이론에 치명타가 되었다. 오일러 수 e는 2.718284590452353602874…….으로 나타내며 수학자들이 계산한 소수이하의 값은 수천자리까지 계산되어 있고 수학사전에는 대략 500자리까지 나와 있다. 신기한 것은 순환되지도 않고 무작위로 나오기 때문에 암호수로 이용하기에 적절한 것들이란 것이다.
고등학교 수학 책에 나온 로그 계산법은 스코틀랜드 수학자인 존 네피어가 만든 계산법이라 하여 네피어 상수라고 불리어 진다. 이것은 원주율 파이와 허수 단위인 i와 함께 중요한 수학의 상수중 하나이다. 이 값은 (1+1/n)^n으로 표시되며 1/n!의 무한합의 극한값과 같음이 증명되었다. 이 값은 비순환 무한소수로 초월수이며 무리수이다. e 는 초월수의 존재를 증명하기 위해 특별히 고안된 수들을 빼 놓고 초월수 개념이 나오기 전에 알려져 있던 수들 중에 최초로 초월수임이 증명된 수이기도 하다. 이것의 증명은 1873년 촬스 에르미트라는 수학자가 증명하였고 1618년 존 네이피어에 의해 로그에 대한 연구의 부록으로 간행되었다. 그러나 그것은 상수자체를 담고 있지는 않았고, 단순히 상수로부터 계산된 여러 로그값의 리스트였다. 그 테이블은 윌리엄 오트레드가 만든 것으로 여겨진다. 처음으로 e 가 상수라는 것은 야콥 베르누이가 값을 찾기 위해 노력하는 중 밝혀지게 되었다.
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