정수론, 암호학서 시작
정수론, 암호학서 시작
  • 소인섭
  • 승인 2009.04.23 16:09
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수에는 정말 재미있는 특성이 있다. 우리는 보통 자연수의 집합을 N, 정수의 집합은 Z, 유리수의 집합은 Q, 실수의 집합은 R, 복소수의 집합은 C로 표시한다. 그 이유는 자연수를 영어로 Natural number, 실수는 Real number, 복소수는 Complex number, 유리수는 Rational number, 그러나 실수의 R과 혼동이 우려됨으로 유리수는 나누어지는 수라는 의미로 Quotient number일고도 한다. 따라서 유리수의 집합을 Q로 표시한다. 그런데 정수는 Integer 또는 Integral number 라고 한다. 그렇다면 정수는 I로 표시해야 할터인데 수 집합 중에서 정수는 유일하게 독일어로 수를 뜻하는 Zahl의 첫 글자인 Z를 사용한다.

일반적으로 수론이라 함은 정수론을 말하는데 정수의 발전은 암호학을 비롯하여 현대 과학의 핵심적인 일을 하고 있다.

정수를 이용하여 여러 가지 재미있는 숫자의 배영을 감상하여 봄으로 그 신비한 세상에 빠져 들어가 보자. 먼저 1부터 9까지 차례대로 나열하여 적당한 위치에 +와 -를 넣어 그 계산 결과가 항상 100이 되게 만들어보자.

123-45-67+89, 123+45-67+8-9, 123-4-5-6-7+8-9, 123+4-5+67-89, 12+3-4+5+67+8+9,

12-3-4+5-6+7+89, 12+3+4+5-6-7+89, 1+23-4+5+6+78-9, 1+2+34-5+67-8+9,

1+2+3-4+5+6+78+9, 1+23-4+56+7+8+9, -1+2-3+4+5+6+78+9

등을 계산해 보면 그 합이 모두 100이 되는 것을 알 수 있다. 잘 보면 모두가 정수 1부터 9까지만 사용하였고, 그 순서는 유지되고 있다. 독자 여러분도 위에서 보여준 12가지 외에 다른 방법들을 찾아보기 바란다.

지금부터는 9부터 1까지 차례대로 나열한 다음, 위와 같은 방법으로 100이 되는 배열을 해 보려고 한다.

98-7-6+5+4+3+2+1, 98-7-6-5-4+3+21, 98-76+54+3+21, 98-7+6+5+4-3-2-1,

98-7+6+5-4+3-2+1, 98-7+6-5+4+3+2-1, 98+7-6-5+4+3-2+1, 98+7-6+5-4-3+2+1,

98+7-6+5-4+3-2-1, 98+7+6-5-4-3+2-1,9+8+76+5-4+3+2+1, 9-8+76+54-32+1,

9-8+7+65-4+32-1, 9-8+76-5+4+3+21,-9+8+76+5-4+3+21, -9+8+7+65-4+32+1

등을 계산해 보면 그 수의 합이 모두 100이 된다. 이런 방법으로 그 합이 99가 되도록 또는 어느 일정한 값 k가 되도록 만드는 알고리즘을 만드는 이론을 연구하는 수학이 독일을 중심으로 발전하였다.

이제 구구법을 생각해 보면 구구법 중에 구단의 배열인 9,18,27,36,45,54,63,72,81을 살펴보면, 첫(1자리) 자리수는 9,8,7,6,5,4,3,2,1로 배열되어 있음을 알 수 있다. 그리고 둘째 자리수(10자리)는 1,2,3,4,5,6,7,8,이되는 것을 알 수 있다. 그리고 각 자리수를 합하면 언제나 9로 일정하다. 또한, 123456789x9=111111111, 123456789x18=222222222, 123456789x27=333333333, 123456789x36=444444444, 123456789x45=555555555, 123456789x54=666666666

123456789x63=777777777, 123456789x72=888888888, 123456789x81=999999999

이 됨을 알 수 있다.

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