21세기에 새로운 수학의 지평이 된 프랙탈 기하학도 물론 예외는 아니다. 이 새 기하학은 평소에 수학자들이 알고 있었던 차원(dimension)개념의 붕괴로부터 시작된다. 우리들은 초등학교 이래 1차원, 2차원, 3차원등의 정수차원에 익숙해 왔다. 그런데 이 기하학에서는 1,5차원과 같은 소수차원이 얼굴을 내민다. 이런 분수나 소수로 된 차원은 공간적인 이미지를 떠 올릴 수 없다.
주식시장에는 매일 애널리스트의 분석과 다음 장에 대한 예측이 나온다. 이 예측에 따라 많은 개인 투자가들은 반응을 하는데 그 결과는 거의 못마땅한 수준이다. 그 예측은 여지없이 빗나가고 개인 투자가들은 손해를 본다. 빗나가도 당연히 받아들이고 비난도 하지 않는다. 애널리스트의 분석들은 과거 경험을 통해 만들어 놓은 정수 차원적인 분석에 의존한다. 주가의 움직임은 프랙탈 차원에서 움직이고 있는데 대부분의 분석은 이보다 낮은 단계에서 분석하여 결과는 빗나가고 있는 것이다. 프랙탈 차원에 대한 연구가 많으면 많을수록 그동안 신의 영역으로 치부했던 곳까지 접근도 가능해 질 것이다. 주가변동도 시간과 금액이 만든 공간에서 1/f요동을 한다. 주가변동에 관한 통계적 법칙을 만델브로 법칙이라고 하는데 프렉탈 차원을 생각해 낸 것이다. 자기닮음구조는 만델브로가 증권시장에서 발견하게 된 계기가 되었다. 주가의 변화는 시간단위에 변화를 받지 않으며 통계적으로 자기닮음꼴이다. 주가의 그래프를 하루 단위, 1개월 단위로 그려도 그래프는 같은 정도의 복잡한 모양으로 변화하고 있다. 시간을 확대하고 축소해도 변화의 상태가 같다는 것으로 주가의 변동이 시간에 관해서 프랙탈 적임을 의미한다. 하루 동안의 주가변동이 1개월 후의 주가변동과 통계적으로 닮은 꼴이라는 것은 내일의 주가를 예상하는 일이 1개월 후의 주가를 예상하는 것만큼 어렵다는 뜻이 된다. 주가변동의 프랙탈 구조의 보기는 가격변동의 크기 자체는 의미가 없고 그보다는 변동의 크기에 관한 빈도분포가 프랙탈적인 성격을 갖고있는 경우가 그것이다.
방향이란 측면에서 본 코흐곡선은 어디를 향하고 있는지 전혀 알수 없는 카오스(혼돈)그 자체이다. 반복회수를 늘일수록 선분의 수가 폭발적으로 늘어나며 그 방향도 종잡을 수 없다. 이와 함께 정보도 폭발적으로 늘어난다. 1827년 영국 식물학자 브라운(Robert Brown 1773~1858)은 물 위에 떠 있는 꽃가루를 현미경으로 관찰했다. 꽃가루에 붙어있는 작은 미립자가 매우 불규칙한 운동을 계속하고 있는 것이 보였다. 미립자는 불규칙한 열역학적 운동을 하는 물 분자들의 교란에 의해 미세한 움직임을 끊임없이 계속한다. 이런 현상을 그의 이름을 따서 브라운운동이라고 했다. 브라운 운동은 저차원에서는 원래 서있던 자리로 되돌아오는 회귀적이다. 고차원이 될 수록 원래 출발점으로 되돌아 올 가능성이 낮아지는 비회귀적 경향을 띤다. 일반적으로 3차원 이상에서는 비회귀적이다. 자기닮음의 특성도 있다. 이 사실은 어느 부분이나 전체를 재구성할 수 있는 정보를 모두 가지고 있음을 뜻하며 그 일부만 보아도 전체가 어떤 도형인지 짐작할 수 있다.
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