우리는 사는 동안 우연히 이런 일을 보았다고 한다. 방금 전 까지도 멀쩡한 사람이 죽기도 하고 사업에 실패하여 엄청난 시련을 당하기도 한다. 그런데 과연 이것이 우연일까? 종교에서는 신의 뜻으로 돌리기도 한ㅇ다. 그러나 수학자들은 우연으로 보이는 것 속에서도 새로운 법칙을 찾아내려고 한다. 이것이 이른바 확률의 법칙이라는 것이다.

예를 들면 과연 몇 사람이 모이면 그 중에 같은 날이 생일인 사람이 적어도 한사람이 있을까? 언뜻 생각하면 1년은 365일이니 같은 생일이 나오게 하려면 아무리 적게 잡아도 180명 정도는 모여야 할 것 같은 생각이 들지만 사실은 40명만 있어도 그 중에 생일이 같은 날이 나올 확률은 거의 90%이상이다. 언뜻 생각하면 믿어지지 않는 일이지만 이것은 이미 많은 수학자들뿐만 아니라 중등학교 수학을 공부한 사람들도 쉽게 계산할 수 있는 수학적 사실이다. 실제로 독자들이 있는 그곳에서 당장 조사해 볼 수 있다. 유치원이나 학교에서 또 사무실에서 간단히 조사해 보면 그 높은 가능성에 놀랄 것이다. 그래서 우리 사무실에 생일이 같은 사람이 있을까라는 내기를 한다면 있다는 쪽에 승부를 거는 편이 현명한 선택인 것이다. 이른바 확률 분포곡선에 의하면 60명이 있으면 같은 날에 생일이 있을 확률은 거의 100%이다.

이 계산은 간단하다. 이것은 어떤 일이 일어나지 않을 확률을 먼저 계산한 후 전체 1에서 그 결과를 빼면 된다. 각 사람의 생일이 모두 다를 경우를 생각하면 첫 번째 사람의 생일은 365일중에 하루가 될 것이며 다음 사람의 생일은 364일 중에 하루가 될 것이다. 이것을 계속하여 n명이 모두 생일 이 다를 경우의 수는 365x364x....x(365-(n-1))이며 n 명의 사람의 생일의 경우의 수는 중복을 허용하므로 모두가 생일이 다를 확률은 다른 사람에게 영향을 받지 않기 때문에 독립적인 사건이라 할 수 있기 때문에 (385/365)x(364/365)x... (365-(n-1))/365이다.

실제로 n=23이면 이 계산은 0.4927027이 되고 n=22이면 0.5243046이 된다. 즉 23명이 있으면 두 사람의 생일이 같을 확률은 50%이상이다.

좀 더 복잡한 계산문제에 도전해 보자. 3을 4798번 곱해보면 마지막 자리 수에는 어떤 수가 나올까? 세상의 계산기로는 계산이 안 되는 문제이다. 그런데 조금만 생각해보면 마지막에 오는 수는 1, 3, 7, 9 외에는 다른 수가 나 올 수 없다는 사실을 알 수 있다. 또 1은 아무리 곱해도 1이며 3을 4번 곱하면 마지막 수가 1이니 지수 법칙을 이용하면 3을 4798번 곱한다면 4798=4x1199+2가된다. 따라서 3을 4x1199곱한 경과의 마지막 자리 수는 1이고 결국 3의 2제곱수의 자리수가 마지막자리수가 되므로 3의4798번 곱한 수의 마지막 자리 수는 9임을 알 수 있다. 만일 7을 65432번 곱해서 그 구의 마지막 자리 수는 얼마일까?를 독자 여러분도 각자 계산해 보기 바란다. 또 3의 4798번 곱한 수의 마지막 세 자리 수는 무엇인가?