유클리드 기하학
유클리드 기하학
  • 송영석
  • 승인 2008.03.13 15:41
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수천 년이 된 고전기하학 중에 유클리드의 기하학은 지금도 많은 사람들의 사랑을 받고 있다. 기존의 유클리드의 기하학에는 크기와 모양이 같아야만 같은 도형으로 취급하였다. 그래서 초등수학에서는 합동 정리와 닮은 정리라는 것을 만든 것은 유클리드의 업적이라 할 수 있다. 그런데 현대기하학의 기초가 되는 이른바 위상기하학에서는 도형의 크기나 모양이 변하여도 도형의 연결 상태만 같으면 같은 도형으로 간주한다. 연결 상태가 같다는 말은 고무판과 같이 자유자재로 늘이거나 구부리거나 할 수 있는 것을 말한다. 다시 말하면 고무줄 로 된 원과 삼각형은 비록 그 모양이 달라도 위상기하학의 입장에서는 같다고 본다는 말이다. 이러한 연결 상태가 같은 도형은 평면도형에서 뿐만 아니라 입체도형에서도 성립된다. 예를 들면, 정육면체와 공의 모양은 달라도 연결 상태가 같은 도형이고, 컵과 도넛도 연결 상태가 같은 도형이다. 그러나 공과 타이어의 튜브는 연결 상태가 같다고 볼 수 없기 때문에 같은 도형이라고 할 수 없다. 다시 말하면 공을 늘이거나 구부리어서 튜브의 모양은 만들 수 없다는 말이다.

원, 정삼각형, 정사각형, 정오각형 등은 유클리드 기하학의 관점에서 보면 각각 다른 도형이지만, 위상기하학의 관점에서 보면 모두 한붓그리기 도형(단일폐곡선)이어서 같은 도형이다. 다시 말하면, 이들 도형은 늘이거나 줄이거나 해서 서로 겹칠 수 있다.

이렇게 연결 상태가 같은 도형을 다루는 이론은 실생활에서 유용하게 응용하기도 한다. 우리 주변에서 응용되는 위상기하로 표현된 도형 중에 하나가 바로 지하철 노선도이다. 실제로 우리들이 가지고 다니는 지하철의 노선도나 수첩뒷면에 나오는 지하철노선도는 실제의 지도위에 나타낸 지하철 노선도와 비교하면 많은 차이가 있다. 구부러진 모양이나 역 과 역 사이의 거리도 다르고 방위도 다르다. 지하철 노선도는 실제의 노선을 그리는 사람이 마음대로 늘이거나 구부러뜨리거나 또는 펴서 간단한 모양으로 그렸기 때문에 원래의 지도와는 너무 많이 달라졌지만 사람들은 누구하나 불평하지 않고 그것을 이용한다. 오히려 잘 만들어 졌다고 만족하여 들고 다닌다. 왜 그럴까? 그것은 지도가 지녔던 연결 상태, 즉 역의 순서나 각각 노선들이 교차하는 환승역 등의 순서는 변하지 않았기 때문이다. 다시 말하면 고무줄로 된 노선들을 구부리거나 잡아당겨서 만든 위상기하학의 이론을 응용했기 때문이다.

즉, 지하철 노선안내도와 실제 지도 위에서의 지하철 노선도는 연결 상태가 같은 도형이라고 할 수 있다. 또한 네온사인에서 만든 문자는 위상 기하학적으로는 모두 직선과 같은 모양들이다.

이러한 아이디어에 착안하여 만들어진 수학이 바로 위상기하학이라고 한다. 위상수학자들은 연속적으로 줄이고 또 늘여서 한 도형을 연결 상태가 같은 도형을 만드는 도구로 사용하는 것이 연속이라는 개념을 사용한다. 연속적으로 줄이거나 늘인다는 것은 고무막판을 이용하는 것과 같은 원리이다. 조금은 논리적인 비약같이 보이지만 위상기하학자들의 눔으로 사람을 본다면 손가락이 다섯 개가 있는 사람이나 손가락을 서서히 연속적으로 줄여나가면 손가락이 없는 팔만 가진 사람도 위상적의로는 연결 상태가 같다고 할 수 있다. 그러나 코 구멍이 하나인 사람과 둘인 사람은 연결 상태가 같다고 할 수 없다. 그래서 연구 대상은 구멍이 몇 개인 도넛인가에 따라 도형들을 나누게 되어 그 도넛의 연구가 위상수학자들의 연구주제가 되었다.

문제: A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,ㄱ,ㄴ,ㄹ,ㅁ,ㅂ,ㅅ,ㅇ,ㅈ,ㅊ,ㅋ,ㅌ,ㅍ,G 중에 연결 상태가 직선과 같은 것은 무엇인가? 또 서로 위상기하학적으로 같은 것은 무엇인가?

김인수<전북대 통계정보학과 교수>

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