올바른 증명은 단순히 증명일 뿐이며 이 문제에 대하여 이의를 제기하는 수학자도 없다. 다만, 매우 미묘한 추론이 포함되어 있고, 여러 쪽에 걸친 긴 증명에는 문제가 간단하지만은 않다. 왜냐하면 증명을 처음 발견한 사람도 그리고 그 뒤의 독자도 발견할 수 없는 논리적 오류가 있을 가능성은 언제나 있다. 이런 오류는 수학자들에게 종종 발생한다. 그러나 이러한 인간의 오류를 제외한다면 수학적 증명의 개념은 과학에서 절대 확실한 입증 방법으로 존재한다.
그러나 컴퓨터의 출현 이후에는 수학의 증명하는 방법도 새로워지고 있다. 컴퓨터의 도움으로 발견한 증명은 너무 길기 때문에 인간의 힘으로는 점검이 불가능하다. 만일 그 결과가 실제로 정확한지 알고 싶다면 프로그램을 조사해보고 저자가 말한 대로 실행됨을 확신해야한다. 그러나 이것은 말과 같이 쉽지만은 않다.
예를 들면, 1976년 미국의 일리노이 대학의 아펠과 하켄이 컴퓨터를 이용하여 오랫동안 난제였던 4색 문제를 풀었지만, 무려 1천200시간이상 컴퓨터가 계산한 이 계산을 인간의 힘으로는 불가능한 것이다. 4색 문제란 1852년 프랜시스 거스리 교수가 단지 4 가지색을 이용해서 영국의 각 군의 색을 채색할 수 있다는 주장이다. 여기서 채색은 공통경계를 가진 어떠한 두 군도 똑같은 색으로 나타낼 수 없다는 요구조건을 만족해야한다는 것이다. 그 후 124 년 동안 많은 수학자들이 이 문제를 가지고 노력했지만, 두 교수가 만든 지도의 방법은 1천482가지였고 발표된 증명은 약 50페이지의 본문과 도표, 85페이지의 2천500개의 또 다른 도표, 그리고 증명의 부분을 설명한 400페이지는 인간의 계산으로는 약 10만년 동안 쉬지 않고 계산해야 할 내용이었다. 브렌트 교수와 코헨교수는 이 결과를 발표하면서 이 증명은 거의 완전히 컴퓨터에 의해 이루어졌다고 말했다.
다시 말하면, 이제는 수학적 증명도 역시 컴퓨터라는 입을 빌려야 하는 시대가 도래했다는 말이다. 그 증명이 처음 등장하고 10여 년이 지나는 동안 어느 누구도 오류를 발견하지 못했고, 컴퓨터의 도움으로 이루어진 증명의 출현은 수학의 본질에 변했다는 사실은 의심의 여지가 없다. 지금 우리는 비록 스스로 점검할 수 없는 사실을 믿어야 하는 시대가 도래한 것이다.
얼마 전, 미국에서는 파이를 계산했는데, IBM 3090 슈퍼컴퓨터를 이용하여 소수이하 4억 100만 자리까지 계산을 했고 Cray-2 슈퍼컴퓨터를 이용하여 다시 계산했지만 결과는 똑같았다. 이런 계산은 새로 설치한 컴퓨터의 정확성과 효율성을 시험하기 위해 필요하다고 말했다. 단 한자리에서만 틀려도 완전히 의미 없는 결과를 주는 것이 이런 계산의 속성이다.
그래서 이런 계산은 서로 다른 프로그램을 사용해서 두 번 시행하고 두 답을 비교함으로써 매우 믿을 만한 성능을 점검한다. 정확히 말하면, 이런 점검에 주 기억 장치의 1억 개 이상의 워드를 이용하고 거의 30시간 동안 작동시켜 30조 개 이상의 산술 연산을 시행했다. 이것은 우주 비행을 하는 비행사에게 안도감을 주고 컴퓨터의 계산을 신뢰하게 하는데 필요한 것이다.
이와 같이 계산을 시행하기 위한 컴퓨터의 사용은, 특히 증명을 찾아내기 위한 컴퓨터의 사용은 수학의 본질을 변화시키고 있다고 해도 과언은 아니다. 그리고 이런 계산 결과를 증명이라고 불리고 있다. 그리고 그런 것들은 더욱더 증가하고 있는 것이다.
