수학적 진실은 진리인가?
수학적 진실은 진리인가?
  • 승인 2005.01.24 15:18
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수학적 진실은 진리인가? 적어도 그 답은 확실히는 모르지만 분명한 것은 수학적 진실은 변하지 않는다는 것이다. 뿐만 아니라, 그것은 우리 현실 밖에 있는 경우가 많다. 다시 말하면, 그 증명을 내놓았거나 그 증명을 검토한 사람이 믿을 만한 사람이면 그 증명을 맞다 고 해 준다는 것이다. 실제로 오늘날 에는 매년 25만개 이상의 수학적 정리가 세계 각국에서 쏟아져 나온다. 물론 수학이란 증명의 개념이 있기 때문에 수학자들이 다른 과학자들에 비해 좀더 엄격한 기준을 갖고 있지만 누가 그 정리를 다 읽을 수 있을까? 실제로 대부분의 수학자들조차도 4색 문제가 어떤 방법으로 증명되었는지를 이해하고 검토해 본 일이 없다. 다만 나는 이러이러한 사람이 맞다 고 했기 때문에 이러이러한 것이 진리라고 믿습니다. 고 말하는 것이다. 수학의 어떤 분야는 너무나 막연하고 또 너무 미개척지이기 때문에 이런 분야의 연구를 하는 수학자들은 연구결과를 다른 사람과 공유할 수가 없다. 그래서 최소한 100여명 이상의 수학자가 동시에 어떤 분야를 연구하기 전 까지는 중요한 분야라고 할 수 없다는 이야기가 나오기도 한다. 사정이 이렇지만 그래도 어느 누군가는 새로운 분야를 개척하기는 해야 한다.


 1982년 리하이 대학교 수학 교수인 앨버트 윌란스키(Albert Wilansky)는 사무실에 앉아서 자기의 동서인 스미스에게 전화를 걸었으나 계속 통화 중이었다. 전화번호는 493-7775였다. 평범한 번호였으나 무료하여 연습장에 4,937,775 = 3 x 5 x 5 x 65,837 라 쓰고 난후 각 수를 합해보니 좌우 양변이 일치함을 알게 되었다. 즉, 4 +9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 이 된 것이다. 그는 동서인 스미스의 전화번호가 특별한 성질을 갖고 있음을 발견한 것이다. 전화번호의 전체 숫자가 소수(prime number)들을 서로 곱한 것과 같은데, 이 전화번호의 숫자들을 더하면 소수들의 구성수를 더한 것과 같다는 사실이다. 그는 이런 성질을 가진 수를 스미스 수라 했다. 그는 이런 또 다른 수가 존재할까? 의문을 가지고 연구를 했고 다른 스미스 수도 제시했지만 자기 동서의 전화번호보다 큰 스미스 숫자는 발견하지 못했다고 말했다. 예를 들면, 9,985도 스미스 수이다. 9,985 = 5 x 1997 이면서 9 + 9 +8 + 5 = 5 +1 + 9 + 9 + 7 이기 때문이다. 또 6,036도 스미스 수이다. 가장 작은 스미스 수는 4이데 소인수인 두개의 2를 합한 것과 같기 때문이다.


 대부분의 수학자들은 스미스 수가 흥미롭지만 다른 수학적 아이디어와 연결되지 않는 별 볼일 없는 수라 생각하고 무관심할 때, 스미스 수가 나온 지 1년 후에 또 다른 수학자들은 스미스 수가 반복 단위 소수로부터 쉽게 얻어진다는 사실을 발견하였다. 반복 단위 소수란 11 혹은 1,111,111,111,111,111,111같이 1이 반복되는 소수를 말한다. 이들은 11보다 큰 모든 반복 소수에다 3304를 곱하면 스미스 수를 만들 수 있다고 주장하였다. 그리고 1과 0으로만 구성된 모든 소수는 스미스 수가 되는 배수를 갖고 있음도 증명했다. 그리고 스미스 수가 무수히 많은가? 를 물었다. 그러나 그 당시에는 아무도 알 수 가 없었다. 그들은 말하기를 “1과 0으로만 구성된 소수가 무수히 많은지 알 수 있다면 그 대답은 예스입니다. 이 문제는 그 자체로도 흥미롭고 또 도전적인 문제입니다.” 곧이어 웨인 맥도날드는 스미스 수는 무한임을 증명했다. 그러나 그 증명은 모든 가능한 스미스 수를 구성하는 방안에 대해서는 언급하지 않았다. 그런 방안이 나와 있지 않음에도 불구하고 수학자들은 스미스 수 연구에 그리 열을 올리지 않는다. 이 수의 연구에 그들 동료들이 요구하는 100명 이상의 연구자를 끌어당기지 못하는 것이다.

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