논리와 경제성의 수학
논리와 경제성의 수학
  • 승인 2005.06.20 14:53
  • 댓글 0
이 기사를 공유합니다

 수학문제를 푸는 것은 엄격한 논리와 더불어 경제성이 요구된다. 왜냐하면 무작정 기다려 줄 만큼 세월은 길지 않기 때문이다.

 “지금 여기에 아홉 개의 진주가 있다고 하자. 그런데 이 진주들의 겉모양은 같지만 이 중 여덟 개의 무게는 같고 나머지 한 개는 무게는 다른 것과 비교해 가벼울 수도 있고 무거울 수도 있다. 무게를 조사할 저울은 양팔 저울 한 개가 있고 오직 이 저울을 3번만 이용하여 무게가 다른 진주를 찾아내야 한다는 문제이다.”

 이런 문제는 재미있는 놀이로서의 수학문제이다. 그러나 차분히 생각하지 않으면 이런 문제를 풀기는 쉽지 않다. 이런 문제를 통하여 두뇌의 사고훈련이나 논리적 훈련을 하는데 아주 적합한 문제이다. 막고 품는 식으로 우격다짐하는 성격의 소유자는 풀기 어려운 문제이고 요행이나 우연을 기대하는 사람들은 더욱 힘든 문제이다. 원래 수학이란 어려운 것 같지만 차분한 마음으로 하나 씩 논리의 벽돌을 쌓아 가면 자기도 모르는 사이에 어느덧 해결되는 것이다.

 이 문제를 풀기 위하여 양팔 저울의 양쪽에 진주를 각 각 하나씩 얹어서 무게를 비교한다는 것은 시간 낭비라는 것을 알 수 있다. 왜냐하면, 양팔 저울을 사용할 횟수는 3 번인데 세 번 모두 양팔 저울이 수평을 이룬다면 문제풀이는 여기서 낙오하고 마는 것이다. 손으로 들어보고 짐작해서 무게가 다른 것을 알아볼 수 있으면 좋으련만, 안타깝게도 종이에 쓰여 있는 말이기 때문에 그것도 불가능 하지 않는가!

 우선 생각 할 수 있는 것은 먼저 아무 것이나 두 개를 저울 위에 올려놓아 양팔 저울이 수평을 이루었다면 양쪽에 있는 두 진주의 무게가 같고 나머지 일곱 개의 진주 중에 다른 하나가 있다는 사실을 알 수 있다. 그러나 이 사실로부터는 양팔 저울이 수평이 되도록 두 개의 진주를 표준으로 삼을 수는 있지만 나머지 일곱 개를 더 조사해야 한다. 그러나 더 이상 양팔 저울을 이용해서 이 문제를 해결할 수는 없다.

 그러나 운 좋게도 처음 두 개를 저울 위에 올려놓았을 때 수평을 이루지 않으면 문제는 쉽게 해결된다.

 다음으로 생각 할 수 있는 것은 9개의 진주를 세 개씩 세 그룹으로 나눈다면 제한된 횟수를 좀더 효과적으로 이용할 수 있을 것이다. 세 개씩 나누는 이유는 3 이라는 수가 아홉 개의 진주를 1과 9를 제외하고는 똑같이 나눌 수 있는 유일한 수이기 때문이다. 우리는 3 개씩 나누어진 각각의 그룹을 하나의 커다란 진주라고 생각할 수 있다. 이들 각각을 1군, 2군 3군이라 하고 1군과 2군을 양팔저울위에 놓고 만일, 양팔저울이 수평을 이룬다면 1군과 2군에 속한 여섯 개의 진주는 무게가 다른 진주가 없을 것이고 따라서 무게가 다른 한 개의 진주는 3군에 속할 것이다. 두 번째 단계로 1군과 3군의 무게를 비교해 보면 당연히 수평이 되지 않을 것이다. 3군의 무게가 더 무거우면 (가벼우면)이는 여덟 개의 무게와 다른 진주가 3군에 있다는 것을 의미한다. 이제 3군에 속한 진주 중 두 개를 저울로 비교해보자. 두 개의 무게가 같다면 나머지 한 개가 우리가 찾는 진주이고 무게가 틀리다면 두 개 중 무거운 것(가벼운 것)이 나머지 여덟 개의 진주와 무게가 다른 것이다.

 그러나 만일 양팔 저울이 수평이 되지 않았다면 3군에 속한 진주는 모두 무게가 같은 것일 것이고 무게가 다른 진주는 1군이나 2군에 속해 있을 것이다. 그러나 1군에 속하는지 2군에 속하는지는 알 수 없다. 1군과 3군을 저울 위에서 비교한다. 만일 무게가 같다면 2군 안에 있는 3개의 진주 중에 무게가 다른 것이 있을 것이고 2군 안에 있는 3개의 진주 중 2개를 저울 위에 올려놓아 수평이 되면 나머지 하나가 찾는 진주이다.


댓글삭제
삭제한 댓글은 다시 복구할 수 없습니다.
그래도 삭제하시겠습니까?
댓글 0
댓글쓰기
계정을 선택하시면 로그인·계정인증을 통해
댓글을 남기실 수 있습니다.