자연의 신비 정육각형
자연의 신비 정육각형
  • 승인 2005.10.31 16:40
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 자연 속에 들어있는 많은 창조물은 사람이 만든 것도 많지만, 자연으로부터 만들어진 것이 많다. 그것들을 수학자의 눈으로 살펴보노라면 정 사각형이나 원들, 그리고 타원처럼 아름다운 모양들을 가지고 있다. 어떤 것들은 좌우 대칭인 것도 있고 비대칭인 것도 있다. 언뜻 보기에는 무질서한 것 같고 적당히 뿌려진 것 같은 자연 창조물도 자세히 보면 너무나도 정밀하고 완벽함에 놀랄 따름이다. 많은 수학자들은 이러한 자연속에서 프랙탈 이론을 찾았고 카오스 이론을 찾았다.

 오늘은 자연의 신비중의 하나인 정육각형(Hexagon)에 대해서 알아보기로 하자. 정육각형이란 자연 속에서 발견되는 기하학의 모형중의 하나로 6개의 같은 변과 또한 이루는 각 들이 모두 같은 다각형을 말한다. 물론 정 삼각형이나 정 사각형도 변과 변들이 이루는 각이 같지만 정 육각형은 오묘한 몇 가지 비밀을 가지고 있다. 수학자들은 단지 정육각형과 정 사각형 그리고 이등변 삼각형만이 서로 끼워 맞추었을 때 공간이 남지 않게 됨을 발견하였다. 그리고 이런 것들의 면적이 모두 같을 때 정 육각형이 가장 작은 직경을 갖는 사실을 발견하였다. 그런데 수만 년 전부터 벌들은 이 사실을 잘 알고 벌집을 지을 때 정육각형의 집을 지었다. 벌들이 이 같은 공간을 만들기 위해서 정육각형의 집이 가장 작은 재료와 최소의 작업으로 가능하다는 것을 어떻게 알고 일했는가는 아직 까지 아무도 모른다.

 이어 붙였을 때 정육각형만이 틈이 생기지 않는 단 하나의 도형이라면 모르겠지만, 정삼각형과 정사각형도 틈이 생기지 않는 정다각형이다. 그러므로 꿀벌이 집을 짓는데 굳이 정육각형만을 고집할 필요는 없지 않을까 하는 생각이 드는 것이다. 정삼각형이나 정사각형을 사용해도 매끈한 건물을 거뜬히 지을 수 있을 것 같은데 말이다.

 어디 이뿐인가? 단순함으로 따져 보아도 그렇다. 정육각형은 정삼각형이나 정사각형보다 복잡하다. 그래서 정육각형 형태로 집을 지으려면 그만큼 손이 많이 갈 수밖에 없다. 그런데도 정삼각형이나 정사각형으로 지어진 꿀벌의 집을 본 기억이 없으니 이상합니다. 꿀벌은 왜 정삼각형이나 정사각형 대신에 그보다 복잡한 정육각형 형태로 집을 짓는 걸까? 원 모양의 테두리를 그려놓고 그 안에 둘레와 맞닿는 도형을 그려보면, 도형의 면적은 변이 많을수록 커진다. 정삼각형보다 정사각형이 넓고, 정사각형보다 정육각형이 넓어지게 되는 것이다. 꿀벌이 정삼각형이나 정사각형을 택하지 않고 정육각형을 택한 데에도 이와 같은 이유가 숨어 있다. 둘레는 같아도 공간의 면적이 넓으면, 더 많은 꿀을 저장할 수 있기 때문이다. 따라서 정삼각형과 정사각형보다 더 많은 변을 가진 정육각형 모양을 하게 된 것이다.

 이러한 특성 외에도 정육각형은 역학적으로도 튼튼하다. 건축이나 토목 공사용 재료로 벌집 모양의 자재를 널리 이용하는데, 다른 형태보다 강도가 더 우수하다고 한다. 사실, 꿀벌이 이러한 비밀을 속속들이 파악하고 이해해서 집을 짓지는 않았을 것입니다. 하지만 본능과 오랜 경험으로 꿀벌은 같은 조건이라면 빈틈없고 튼튼하며 면적이 넓은 공간은 정육각형이 최적이라는 경험을 얻었을 것이다.

 우선 축구공의 모양은 기하학적으로 흥미롭다. 12개의 정오각형과 20개의 정육각형으로 된 축구공의 모양은 아르키메데스가 처음으로 찾아낸 것으로, ‘물’을 상징했던 정이십면체는 물론 우주의 정기인 ‘제5원’을 상징했던 정십이면체로부터 만들 수 있다. 그래서 배구나 농구와는 달리 축구는 빗속에서도 할 수가 있고, 대부분의 축구장에는 지붕이 없는 모양이다. 사실 축구공의 모양은 현대 수학을 정립했다는 스위스의 수학자 오일러와 깊은 관계가 있다. 오일러는 다면체에서 면의 수와 꼭지점의 수, 그리고 변의 수 사이에 특별한 관계가 있다는 사실을 알아냈다. ‘오일러의 정리’에 의하면 오각형으로 만들어진 다면체는 어떤 모양이거나 상관없이 반드시 12개의 오각형이 있어야만 한다. 미국의 유명한 건축학자 벅민스터 풀러는 그런 오일러의 정리를 이용해서 거대한 측지돔을 설계했다. 내부에 기둥을 받치지 않고 만든 공 모양의 측지돔은 언뜻 보기에는 정육각형만으로 만들어진 것처럼 보이지만, 사실은 그 크기에 상관없이 정확하게 12개의 오각형이 숨겨져 있다. 그러니까 엑스포 과학공원에 있는 측지돔은 거대한 축구공인 셈이다.

 정육각형의 모양은 벌집 말고도 또 있다. 이를테면, 눈송이, 우리 몸속의 세포모양, 크리스털, 그리고 바다 생물에서도 찾아 볼 수 있다.


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