이런 문제를 연구하는 수학이 있는데 그것은 이미 350년 전인 1735년 오일러라는 수학자에 의해서 그 이론이 정립되었다. 오일러는 쾨니히스베르크의 일곱 개의 다리를 정확하게 한번씩 만 지나서 전체의 다리를 건넌다는 것이 불가능함을 증명하였다. 그로부터 139년후인 1875년 여덟 번째의 다리가 놓여져서 이 문제가 자동적으로 해결되었다. 수학자들은 이런 문제를 일반화시키기 위해서 점과 선의 문제로 고쳐서 이른바 오일러 경로라는 것을 만들어서 연구하였다. 그리고 오일러는 홀수개의 점이 두개보다 많은 경우에는 오일러의 경로(Euler path)가 존재하지 않음을 증명하였다. 이것은 초등학교에서 배우는 한붓그리기 문제를 일반화 한 것에 불과하다.
오일러는 수학의 연구영역에서 많은 공헌을 하였지만 그의 가장 큰 업적은 오일러의 표수이다. 이것은 다면체의 꼭지점의 개수와 모서리의 개수, 그리고 면의 개수 사이의 관계를 알아낸 일이다. 그가 발견한 법칙은 모든 공간도형의 다면체들은 꼭지점의 개수에서 모서리의 개수를 뺀 다음 모서리의 개수를 더하면 그 합은 2가 된다는 사실이다. 그러나 평면도형에서는 그의 법칙이 통용되지 않는다. 그리고 다면체중에서도 도넛모양의 토러스(torus)에서는 오일러의 표수가 2가 안된다는 사실을 알았다. 왜 이럴까?를 생각하다 만난 결론은 오일러가 주장한 도형은 단일 폐곡선에서만 적용된다는 사실을 알았다.
오일러 경로가 점과 선을 가지고 한 점을 여러 번 가면서도 모든 선은 정확하게 한번을 지나가는 경로인데 반하여 수학자 해밀턴은 모든 선은 반드시 모두 지나지 않아도 되지만 모든 정점은 한번만 통과하는 회로를 정의하여 이것을 해밀턴경로(Hamilton path)라 이름 하였고 출발점과 종착점이 일치하는 경우는 해밀턴 순환로 (Hamilton cycle) 라 불렀다. 해밀턴 경로는 삼각형, 사각형, 원 등 평면도형에서 뿐 아니라 정4면체, 정6면체, 정8면체, 정12면체, 정20면체 등의 공간도형에서도 찾아볼 수 있다. 분명한 것은 정4면체와 정6면체에서는 해밀턴 경로가 한 가지 뿐이지만, 정8면체의 경우에는 두 가지가 있다. 정12면체에도 해밀턴 경로가 두 가지가 있지만 알고 보면 이 둘은 반사적이어서 실은 본질적으로 한 가지 뿐이다.
그러면 오일러 경로를 찾는 방법처럼 해밀턴 경로를 쉽게 찾을 수 있는 방법이 있을까? 유감스럽게도 그 답은 아직까지 일반적인 방법이 알려지지 않고 있다. 그러나 제한적인 방법에서만 해밀턴 경로를 구하는 것에 대하여 많은 연구가 진행되고 있다. 이러한 해밀턴의 경로를 무엇 때문에 연구할까? 그것은 예를 들면, 전선을 배선할 때 최단거리를 따라 배선을 하게 되면 전력소비나 공사경비를 줄일 수 있고, 광케이블 공사를 할 때도 많은 경비를 줄이고 공사기간도 단축할 수 있다. 또한 해밀턴 순환로의 연구를 통하여 바다에서 항해하는 선박들의 기항지를 결정하거나, 각국에 대리점을 둔 회사의 생산품을 각 국가에 공급하고 본사로 돌아오는 코스와 일정을 세우는데 긴요하게 이용할 수 있다.
최근에는 컴퓨터의 발전으로 해밀턴의 경로를 쉽게 계산하여 경비 등을 산출하는데 이용 되지만, 각 꼭지점이 적을 때에는 쉽게 경제적인 해밀턴 경로를 구할 수 있으나 1초당 100만 가지의 해밀턴 경로를 조사할 수 있는 컴퓨터를 사용할지라도 250개의 점을 잇는 해밀턴 경로를 모두 계산하는 데는 수년이 걸린다.
