밀레니엄 마지막 문제
밀레니엄 마지막 문제
  • 김인수
  • 승인 2007.10.04 18:22
  • 댓글 0
이 기사를 공유합니다

밀레니엄 문제 중 마지막 두 문제는 버츠와 스위너톤-다이어 추측과 양-밀스 이론과 질량 간극 가설이란 문제이다. 이 문제에서 우리는 다시 리만 가설에서와 마찬가지로 일반적이 수학 영역으로 돌아오게 된다. 고대 그리스 시대 이래 수학자들은 다음과 같은 유형의 대수 방정식의 모든 정수해를 기술하는 문제를 놓고 씨름해왔다.

x² + y² = z²

이 특정한 방정식에 대해서는 유클리드가 완벽한 해답을 제시했다 - 즉 모든 해들을 산출하는 공식을 제시했다. 1994년 와일스는 2보다 큰 임의의 지수 n 에 대해서 방정식

x^n + y^n = z^n

이 0 이 아닌 정수해를 가지지 않음을 증명했다. 이 결론이 페르마의 마지막 정리이다. 그러나 더 복잡한 방적식들에 대해서는 정수해가 있는지, 혹은 어떤 정수해가 있는지를 밝혀내기가 매우 어렵다. 버치와 스위너톤-다이어 추측은 그 난해한 방정식들 중 한 유형에 대해서 가능한 해들에 관한 정보를 제시하였다.

이 문제는 리만 가설과 관련이 있으며, 이 문제가 해결된다면 소수에 대한 우리의 전반적인 이해에 도움이 될 것이다. 이 문제의 해결이 리만 가설 증명처럼 수학 이외의 영역에도 영향을 미칠지 여부는 불분명하다. 버치와 스위너톤-다이어 추측 증명은 수학자에게만 국한된 관심사로 판명될지도 모른다.

그러나 이 문제를 비롯한 많은 수학 문제가 "실용성이 없다"고 판정하는 것은 어리석은 일이다. 물론 "순수 수학"의 추상적 문제들을 연구하는 수학자드릉ㄴ 대개 어떤 실용적인 귀결에서 동기를 얻기보다는 지적 호기심에서 동기를 얻는다. 그러나 순수 수학에서의 발견이 중요한 실용적 귀결을 같는다는 사실은 역사 속에서 누차 입증되었다.

뿐만 아니라 한 문제를 풀기 위해서 수학자들이 개발한 기법들이 전혀 다른 문제들에 응용될 수 있다는 사실이 종종 입증되었다. 와일스가 페르마의 마지막 정리를 증명한 것이 전형적인 그런 사례이다. 이와 유사하게 버치와 스위너톤-다이어 추측의 증명 역시 다른 용도가 발견될 새로운 발상들을 포함할 것이 거의 확실하다.

마지막으로 양-밀스 이론과 질량 간극 가설이란 것이 있다. 수학의 새로운 발전을 위한 계기는 상당 부분 과학 특히 물리학으로부터 주어진다. 예를 들면 수학자 뉴턴과 라이프니츠가 17세기에 미적분학을 발명한 동기는 물리학을 위해서였다. 미적분학은 연속 운동을 수학적으로 엄밀하게 기술하는 방법을 제공함으로써 과학에 혁명을 일으켰다. 뉴턴과 라이프니츠의 방법은 유효했다. 그러나 미적분학의 기반을 이루는 수학이 제대로 완성되기까지는 약 250년이 더 필요했다. 지난 반세기 정도에 걸쳐서 개발된 물리학 이론과 관련해서 유사한 상황이 벌어지고 있다. 이 일곱 번째 밀레니엄 문제는 수학자들에게 물리학을 따라잡을 것을 요구한다.

양-밀스 방정식들은 양자물리학에서 나왔다. 그 방정식들은 지금으로부터 거의 50년 전에 물리학자 양전닝과 로버트 밀스가 중력을 제외한 자연의 힘들을 기술하기 위해서 수식 화 했다. 그 방정식들은 훌륭한 성과를 거두었으며, 방정식으로부터 도출된 예측들은 전 세계 실험실에서 관찰된 입자들을 설명하였다. 그러나 실용적으로 효율적임에도 불구하고 양-밀스 이론은 아직 수학적으로 완성되지 않았다. 일곱 번째 밀레니엄 문제가 요구하는 것 중 하나는 그 이론을 공리로부터 출발해서 수학적으로 전개하라는 것이다. 여기에서 요구되는 수학적 이론은 실험실에서 관찰된 여러 조건에 부합해야 할 것이라는 가설이다. 특히 그 이론은 양-밀스 방정식들의 해라고 상정된 것들과 관련된 질량 간극 가설을 수학적으로 입증해야 한다. 대부분의 물리학자들은 이 가설을 받아들여 전자가 질량을 가지는 이유를 설명한다. 질량 간극 가설을 증명할 수 있는지 여부는 양-밀스 이론을 올바르게 수학적으로 전개했는지 여부를 판가름할 수 있는 좋은 시험기준이라고 여겨진다. 그들 역시 전자가 왜 질량을 가지는지 엄밀하게 설명하지 못하고 있다. 다만 그런가하는 것을 추측하고 관찰했을 뿐이다.


댓글삭제
삭제한 댓글은 다시 복구할 수 없습니다.
그래도 삭제하시겠습니까?
댓글 0
댓글쓰기
계정을 선택하시면 로그인·계정인증을 통해
댓글을 남기실 수 있습니다.